华中师大一附中2015届高三年级5月适应性考试

数学（理科）试题

命题人：吴巨龙 尹友军 审题人：殷希群 2015.5.25

本试题卷共4页，共22题，共中15、16题为选考题。全卷满分150分。考试时间120分钟。

★ 祝考试顺利 ★

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。答在试题卷、草稿纸上无效。

3．填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。答在试题卷、草稿纸上无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设集合
，集合
，若
, 则
等于

A．
B．
C．
D．

2．下列说法中不正确的是

A．随机变量
，若
，则
．

B．如果一组数中每个数减去同一个非零常数，则这一组数的平均数改变，方差不改变．

C．对命题
：
，使得
，则
：
，有
．

D．命题“在
中，若
，则
为等腰三角形”的逆否命题为真命题．

3．在样本的频率分布直方图中，共有4个小长方形，这4个小长方形的面积由小到大依次构成等比数列
，已知
，且样本容量为300，则对应小长方形面积最小的一组的频数为

A．20 B．40 C．30 D．无法确定

4．把座位号为1、2、3、4、5的五张电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至少一张，且分给同一人的多张票必须连号，那么不同的分法种数为

A．96 B．240 C．48 D．40

5．一个几何体的三视图如图所示，其主（正）视图是一个等边三角

形，则这个几何体的体积为

A．
B．

C．
D．

6．如图，正方形
的边长为1，记曲线
和直线
，
所围成的图形（阴影部分）为
，若向正方形
内任意投一点
，则点
落在区域
内的概率为

A．

B．

C．

D．

7．已知
，
是平面内夹角为
的两个单位向量，若向量
满足
，则
的最大值为

A．1 B．
C．
D．2

8．设
满足不等式组
，若
的最大值为
，最小值为
，则实数
的取值范围为

A．
B．
C．
D．

9．已知双曲线

的两条渐近线与抛物线

的准线分别交于
，
两点，
为坐标原点. 若双曲线的离心率为2，
的面积为
，则
的值为

A．
B．
C．2 D．

10．已知函数
，则关于函数
的零点情况，下列说法中正确的是

A．当
时，函数
有且仅有一个零点．

B．当
或
或
或
时，函数
有两个零点．

C．当
或
时，
有三个零点．

D．函数
最多可能有四个零点．

二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分。请将答案填写在答题卡对应题号的位置上。答错位置，书写不清，模棱两可均不得分。

（一）必考题（11－14题）

11．已知复数
，则
的虚部是 ．

12．定义运算
为执行如图所示的程序框图输出的
值，则

的值为 ．

13．已知函数
，若
，且
时，都有不等式

成立，则实数
的取值范围是 ．

14．分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦·曼德尔布罗(BenoitBMandelbrot)在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．按照

的分形规律可得到如图所示的一个树形图，则当
时，第

行空心圆点个数
与第
行及第
行空心

圆点个数
的关系式为 ；

第12行的实心圆点的个数是 ．

（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑．如果全选，则按第15题作答结果计分．）

15．（选修4—1：几何证明选讲）

如图，已知切线
切圆于点
，割线
分别交圆于点
，

点
在线段
上，且
，
，
，

，则线段
的长为 .

16．（选修4—4：坐标系与参数方程）

在直角坐标平面内，曲线
的参数方程为
（
，

为参数），以坐标原点
为极点，
轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点
、
的极坐标分别为
、
，若直线
和曲线C只有一个公共点，则
．

三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）

已知函数
，将
的图像向左平移
个单位后得到
的图像，且
在区间
内的最大值为
．

（Ⅰ）求实数
的值；

（Ⅱ）在
中，内角
、
、
的对边分别是
，若
，且
，求
的周长
的取值范围．

18．（本小题满分12分）

现有4名学生参加演讲比赛，有A、B两个题目可供选择．组委会决定让选手通过掷一枚质地均匀的骰子选择演讲的题目，规则如下：选手掷出能被3整除的数则选择A题目，掷出其他的数则选择B题目．

（Ⅰ）求这4个人中恰好有1个人选择B题目的概率；

（Ⅱ）用X、Y分别表示这4个人中选择A、B题目的人数，记
，求随机变量
的分布列与数学期望
．

19．（本小题满分12分）

在等腰
中，
，
，
分别是边
、
的中点，将
沿
翻折，得到四棱锥
，且
为棱
中点，
．

（Ⅰ）求证：

平面
；

（Ⅱ）在线段
上是否存在一点
，使得
平面
？若存在，求二面角
的余弦值，若不存在，请说明理由．

20．（本小题满分12分）

已知等差数列
的公差为
，前
项和为
，且
．

（Ⅰ）求数列
的通项公式
与前
项和
；

（Ⅱ）将数列
的前四项抽取其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列
的前三项，记数列
的前
项和为
，若存在
，使得对任意
，总有
成立，求实数
的取值范围．

21．（本小题满分13分）

已知椭圆
的左焦点为
．

（Ⅰ）设椭圆
与函数
的图像交于点
，若函数
在点
处的切线过椭圆的左焦点
，求椭圆的离心率；

（Ⅱ）设过点
且斜率不为零的直线
交椭圆于
两点，连结
（
为坐标原点）并延长，交椭圆于点
，若椭圆的长半轴长
是大于1的给定常数，求
的面积的最大值
．

22．（本小题满分14分）

已知函数
．

（Ⅰ）证明：
；

（Ⅱ）比较
与
的大小；

（Ⅲ）给定正整数
，
个正实数
，
，…，
满足
，

证明：

华中师大一附中2015届高三年级5月适应性考试

数学（理） 答案及评分标准

华中师大一附中高三年级数学组提供 2015.5

一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，满分50分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

B

C

A

A

D

A

B

B

B

C



二、填空题：（本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分）

11．
12．
13．
14．
；89

15．
16．

三、解答题：（本大题共6小题，共75分）

17．解：（Ⅰ）由题设得
，

，

因为当
时，
，

所以由已知得
，即
时，
，

所以
； ………6分

（Ⅱ）由已知
，因为三角形中
，

所以
，所以
，即
，

又因为
，由余弦定理得：

，

当且仅当
时等号成立，

又
，
，所以
的周长
，

故△ABC的周长l的取值范围是
． ………12分

18．解：由题意知，这4个人中每个人选择A题目的概率为
，选择B题目的概率为
，

记“这4个人中恰有
人选择A题目”为事件
（
），

，

（Ⅰ）这4人中恰有一人选择B题目的概率为
………4分

（Ⅱ）
的所有可能取值为0，3，4，且

，

，

，

的分布列是

0

3

4