郴州市2015年高考文科数学信息卷（一）

时量：120分钟 总分：150分

数学(文科)

（时间120分钟，满分150分）一、选择题:本大题共9小题，每小题5分，共45分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．设集合
，
，则

　 A.
　 　B.
C.
D.

2．已知
，且
，则

A.
B.
C.
D.

3. 下列函数中，既是奇函数，又在(0,
）上单调递增的函数是

A.
B.
C
. D.

4．程序如图，若输出的结果为2015，则输入的x的值为

A．1 B．2 C．3 D．4已知正数
满足
，则“
”

是“
”的

　A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

6.曲线
在点
处的切线与坐标轴所围成三角形的面积为　 　

B．2
C．
D．

7向量a＝(cos 15°，sin 15°)，b＝(sin 15°，cos 15°)，则|a－b|的值是 ．

A．3 B．
C．
D．2

8．字母
表示直线，
表示平面，直线均不在平面内，则下列命题中不正确的是

A.
B.

C.
D.

9．从抛物线
上一点P引其准线的垂线，垂足为M，设抛物线的焦点为F，且|PF|=5，则△MPF的面积为 A．
B．
C．20 D．10

10．已知a>b>0，ab＝1，则的最小值是

A．2 B.  C．2 D．1

二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）

11. 已知曲线
的参数方程为
（
为参数），曲线
的极坐标方程为
，则曲线
和
的位置关系是______________

12．设
是虚数单位），则
　 　；

13．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是边长为2的正三角形，则这个几何体的侧面积为________.

14．设正实数
满足条件
，则
的最大值为___________；

15．如图，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的 六个点：1，2，3，4，5，6的横、纵坐标分别对应数列
的前12项，如下表所示：

按如此规律下去，则
=________，
=________；

三．解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演示步骤.

16（本题满分12分）

已知数列
为等差数列，
，
，数列
的前
项和为
，

且有

（1）求
、
的通项公式；

若
，
的前
项和为
，求
；

17（本题满分12分）甲、乙两位同学参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取５次，绘制成茎叶图如下：

　　　（１）现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由；

　　　（２）若在茎叶图中的甲、乙预赛成绩中各任取１次成绩分别记为a和b，求满足a>b的概率。

18．（本题满分12分）如图，ABCDEF由两个边长为２的正方形拼成，现沿对角线AE折起，使面AEF
面ABE，M，N分别是BC，EF的中点．

（１）求证：MN //平 面CDF；　　（２）求二面角F－BD－A的大小．　　

19．（本题满分13分）

某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的顶点A，B，及CD的中点P处，已知AB=20km,BC=10km, 为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD的区域上（含边界），且与A，B等距离的一点O处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO，BO，OP，设排污管道的总长为y km。

（I）按下列要求写出函数关系式：

设
，将
表示成
的函数关系式；

设
，将
表示成
的函数关系式。

请你选用（I）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排水管道总长度最短。

20．（本题满分13分）

如图，P是以F1、F2为焦点的双曲线C：－＝1上的一点，已知

(1)求双曲线的离心率e；

(2)过点P作直线分别与双曲线的两渐近线相交于P1、P2两点，若.
求双曲线C的方程．

21．（本题满分13分）

已知函数
．

（Ⅰ）求
的极值；

（Ⅱ）若
在
上恒成立，求k的取值范围；

（Ⅲ）已知
，且
，求证
．

郴州市2015年高考文科数学信息卷（一）参考答案

一、选择题：（本大题共9小题，每题5分，共45分）

1． A 2． C 3． C 4． B 5． C

6． D , 7.B 8． D 9． D 10． A.

二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共错误！未指定书签。分）

（一）选做题

11. 相交

12． 1 13．
14. 2

14．考查点：线性规划；难易程度：中等；易错点：不能转化为线性规划问题解答；

解答：可令
，则约束条件为
，目标函数为
，

可求得
　　　　　答案：

15．解答：
，
，
1007，

答案：1007，-504

三、解答题：（本大题共6小题，共7５分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16．解：（1）∵
是等差数列，且
，
，设公差为
。

∴
， 解得
∴
（
） …2分

在
中，∵

当
时，
，∴

当
时，由
及
可得

，∴
∴
是首项为1公比为2的等比数列

∴
（
） …6分

（2）

①

②

①-②得

∴
（
） …12分

１7.　解：（１）理由一：
，
，所以选派乙合适；

理由二：
，甲获得８５分以上的概率为
，而乙获得８５分以上的概率为
，所以选派乙合适；

　 （２）

18． (1)略　　（２）45度

19．【解析】本小题考查函数最值的应用。

（I）①由条件可知PQ垂直平分AB，
，则

故
，又
，所以

。

②
，则
，所以
，

所以所求的函数关系式为
。

选择函数模型①。

。

令
得
，又
，所以
。

当
时，
，
是
的减函数；
时，
，
是
的增函数。

所以当
时
。当P位于线段AB的中垂线上且距离AB边
处。

20．解：(1)利用向量的垂直及双曲线的定义建立等式即可确定，(2)运用向量的坐标运算，利用待定系数法建立方程组即可解得．

(1)由
得
，即△F1PF2为直角三角形．设
＝2r，于是有(2r)2＋r2＝4c2和2r－r＝2a，也就是5(2a)2＝4c2，所以e＝.

(2)＝＝2，可设P1(x1,2x1)，P2(x2，－2x2)，P(x，y)，则
＝x1x2－4x1x2＝－，

所以x1x2＝ .①

由
即x＝，y＝；又因为点P在双曲线－＝1上，所以－＝1，

又b2＝4a2，代入上式

整理得x1x2＝a2②，由①②得a2＝2，b2＝8，故所求双曲线方程为－＝1.

21．解：（Ⅰ）
令
得
……………2分

当
为增函数；

当
为减函数，

可知
有极大值为
…………………………..4分

（Ⅱ）欲使
在
上恒成立，只需
在
上恒成立，

设

由（Ⅰ）知，
，

……………………８分

（Ⅲ）
，由上可知
在
上单调递增，

①，

同理
②…………………………..11分

两式相加得

……………………………………13分．

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