哈尔滨市第六中学校2015届第四次模拟考试

文科数学

考试说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．

（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；

（2）选择题必须使用2B铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整, 字迹清楚；

（3）请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；

（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．

参考公式：

柱体体积公式
，其中
为底面面积，
为高；锥体体积公式
，其中
为底面面积，
为高，球的表面积和体积公式
，
，其中
为球的半径，

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．

1. 若全集
，
，则
( )

A.
B.
C.
D.

2. 已知复数
，则复数
在复平面内对应的点为（ ）

3. 已知角
终边与单位圆
的交点为
，则
（ ）

A.
B.
C.
D.1

4. 将函数
的图象向右平移
个单位，再纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，所得新图象的函数解析式是( )

A.
B.

C.
D.

5. 设
，且
，则（ ）

A.
B.
C.
D.

6．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于

A. 12 B. 4

C.
D.

7. 某种饮料每箱装6听，如果其中有2听不合格，问质检人员从中

随机抽出2听，检测出不合格产品的概率为（ ）

A.
B.

C.
D.

8. 执行如图所示的程序框图，若输出
，则框图中①处可以填入

9. 双曲线
的离心率为2，焦点到渐近线的距离为
，则
的焦距等于（ ）

A.2 B.
C.
D.4

10. 设
的内角
所对边的长分别为
, 若
且
的面积为2，则
（ ）

A.
B.
C.
D.

11. 设
、
是椭圆
的左、右焦点，过
的直线
交椭圆于
两点，若
，且
轴，则
（ ）

A.
B.
C.
D.

12. 已知两条直线
和
，
与函数
的图像由左到右相交于点
,
与函数
的图像由左到右相交于点
,记线段
和
在轴上的投影长度分别为
，当
变化时，
的最小值是（ ）

A.2 B.4 C.8 D.16

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13. 设向量
与
的夹角为
，若
，
，则

14. 设实数
满足约束条件
，若
，则
的最小值是

15．若圆锥的内切球和外接球的球心重合，且内切球的半径为1，则圆锥的体积为

16. 若函数
（
）的最大值为
，最小值为
，且
，则实数
的值为 ．

三、解答题：解答应写出文字说明过程或演算步骤。

17. （本小题满分12分）

已知
是等差数列
的前
项和，已知
，且
成等比数列

（1）求数列
的通项公式；

（2）若
，求
的值.

18. （本小题满分12分）

某商场为了了解顾客的购物信息，随机的在商场收集了100位顾客购物的相关数据，整理如下：

一次购物款（单位：元）

[0,50）

[50,100）

[100,150）

[150,200）

[200,+∞）



顾客人数

m

20

30

n

10



 统计结果显示100位顾客中购物款不低于100元的顾客占60%，据统计该商场每日大约有5000名顾客，为了增加商场销售额度，对一次性购物不低于100元的顾客发放纪念品（每人一件）．（注：视频率为概率） （1）试确定
的值，并估计该商场每日应准备纪念品的数量；（2）为了迎接店庆，商场进行让利活动，一次购物款200元及以上的一次返利30元；一次性购物

款小于200元的按购物款的百分比返利，具体见下表：

一次购物款（单位：元）

[0,50）

[50,100）

[100,150）

[150,200）



返利百分比

0

6%

8%

10%



 估计该商场日均让利多少元？

19. （本小题满分12分）

如图，直三棱柱
的底面是边长为
的正三角形，点M在边BC上，
是以M为直角顶点的等腰直角三角形.

（1）求证：直线
∥平面
；

（2）求三棱锥
的高

20. （本小题满分12分）

过抛物线
对称轴上任一点
作直线
与抛物线交于
两点，点
是点P关于原点的对称点.

（1）当直线
方程为
时，过A,B两点的圆
与抛物线在点A处有共同的切线，

求圆
的方程

（2）设
, 证明：

21. （本小题满分12分）

已知函数

（1）若
，求函数
的极值；

（2）是否存在实数
使得函数
在区间
上有两个零点，若存在，求出
的取值范围；若不存在，说明理由.

22.（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲

如图所示，已知⊙O1与⊙O2相交于A，B两点，过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C，过点B作两圆的割线，分别交⊙O1，⊙O2于点D，E，DE与AC相交于点P.

（1）求证：AD∥EC；

（2）若AD是⊙O2的切线，且PA=6，PC=2，BD=9，求AD的长.

23.（本小题满分10分）选修4－4：极坐标与参数方程

已知曲线C的极坐标方程 是
=1，以极点为原点，极轴为
轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线
的参数方程为
为参数）

（1）写出直线
与曲线C的直角坐标方程；

（2）设曲线C经过伸缩变换
得到曲线
，设曲线
上任一点为
，求
的最小值.

24. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

已知
为正实数，且满足

（1）求
的最小值

（2）求证：

2015届文科数学四模试题答案

一、选择题：CAAD BBCC DBCD

二、填空题：13.
14.
15.
16. 2

三、解答题：

17. 解：（1）由
得

解得
，故

（2）∵
，∴
，则

∴

18. 解（1）100位顾客中购物款不低于100元的顾客有
，
；

.

该商场每日应准备纪念品的数量大约为
.

（2）设购物款为
元，当
时，顾客有
人，

当
时，顾客有
人，

当
时，顾客有
人，

当
时，顾客有
人，

所以估计日均让利为

元

19. 证明：（1）连接
，交
于点N，连接MN

∵直三棱柱

∴
平面
,又
平面
，∴

∵
,∴
平面

∴
，故
为
的中点，而
为
的中点

则
∥
,
, ∴
∥平面

(2)设三棱锥
的高为

∵
平面
，∴
，即

∵
，∴

20解：(1)由
解得点A,B的坐标分别是
，

则AB的中点为
，斜率为
，

故AB的垂直平分线方程为

由
得
，
，所以抛物线在点A处的切线斜率为3

设圆
的方程为
，则

解得
，

所以圆M的方程为

（2）设AB方程为
，
，

由
得
，

由
，得
，又点
，从而

所以

21、解： (1)

，

，

(2）
，

，

当
时，
在
上为增函数，在
上为减函数，
，
，
，

所以
在区间
，
上各有一个零点，即在
上有两个零点；

② 当
时，
在
上为增函数，在
上为减函数，
上为增函数，
，
，
，
，所以
只在区间
上有一个零点，故在
上只有一个零点；

当
时，
在
上为增函数，在
上为减函数，
上为增函数，

，
，
，
， 所以
只在区间
上有一个零点，故在
上只有一个零点；

故存在实数
，当
时，函数
在区间
上有两个零点。

22(1)证明：连接AB，∵AC是⊙O1的切线，∴∠BAC=∠D，又∵∠BAC=∠E，∴∠D=∠E。∴AD∥EC

（2）设BP=x，PE=y，∵PA=6，PC=2，∴xy=12，①

∵AD∥EC，∴
②， 由①②可得，
或
（舍去）∴DE=9+x+y=16，

∵AD是⊙O2的切线，∴AD2=DB
DE=9×16，∴AD=12。

23解：（1）

（2）
代入C得

设椭圆的参数方程
为参数）

则
则
的最小值为-4。

24（1）当
时，
的最小值为

（2）

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