邯郸市2015年高三二模数学（理）参考答案

一、选择题

1-5：BBCAD: 6-10：ABBCD,11—12： AD

二、填空题

13. 20 14.
15.
16.
或

三、解答题

17..解：（Ⅰ）在
中，由余弦定理可得
，

所以
…………3分

故
………….6分

参考解法2：(平面几何法)作在
，垂足为E，

因为
且
， 所以
，

又因为D为BC中点，所以三角形ABC的AB边上的高为
，

故
.

（Ⅱ）设
，则

在
中，由正弦定理可得

又在
中 ，由正弦定理可得
，

因为，
，所以
……………………………….8分

即
，即
，

，解得
. …………….12分

18. 解：（Ⅰ）

由列联表中的统计数据计算随机变量
的观测值为：

由临界值表
，

故有
的把握认为课堂效率与教学模式有关． …………………………….3分

（Ⅱ）①从样本中的B、C模式课堂中随机抽取
节课，故该实验为古典概型．

事件
表示“抽取的3节课中至少有一节课为C模式课堂”.

则
． …………………………….6分

②
的所有取值为
．

，

，

所以随机变量
的分布列为























…………………….10分

…………………….12分

19.证明（Ⅰ）：

在等腰梯形
中，由已知条件可得，

，
，

所以，
，
；同理可证，
；………………1分

在四棱锥
中，

二面角
为直二面角，

平面AEF平面AECD,

EF平面AECD，……………………2分

平面
，

，

又
，

AC平面AEF，………………………………4分

平面
平面
. ……………5分

（Ⅱ）以E为原点，EC所在直线为x轴，EF所在直线为Z轴建立如图所示的坐标系，则A(1，1，0),C(2.0,0),D(3，1，0),
…………….6分

则，
.
,
，

显然，
为平面AEF的法向量，

设平面FCD的法向量
，则
，

所以
的一个取值为
…………….9分

故平面
与平面
所成锐二面角的余弦值为
. …………….12分

20解：(Ⅰ)由题意，椭圆
的离心率为
，

故设椭圆方程为
，

将
带入上式，得
.

所以椭圆的标准方程为
. …………….4分

（Ⅱ）设直线
的方程为x=ny—1,与椭圆联立得，

，

设
，则
，
，

…………….8分

令
，则
，

当且仅当n=0时等号成立.

由题意，因为
的周长为定值，因此当
面积取最大值时，它的内切圆面积
也取得最大值，而
，所以，当n=0时，
取得最大值.此时，
的内切圆圆心一定在x轴上，设其坐标为
，取点的坐标为
，则
的方程为
.

，得
或
（舍）

，圆心为
，此时圆的方程为
.……………12分

21. 解：（Ⅰ）
的定义域为

，

当
时，
，
在
上单调递减；

当
时，若
，则
，
单调递增，

若
，则
，
单调递减 ,……………4分

（Ⅱ）设则
，则

……………6分

设

则
，且
，

，
在
上递增

……………8分

（Ⅲ）设
的横坐标分别为
，且
则

由（Ⅰ）可知
，且
，

由（Ⅱ）可得

又∵
在
上单调递减

∴
即

由（Ⅰ）
.……………12分

选做题

22证明：

（Ⅰ）证明：因为
为半圆
的切线，由弦切角定理得,
,

又因为
,得
,

所以
平分
…………5分

方法二：

连接
,因为
,所以
,因为
为半圆的切线，所以
,又因为
,所以
，所以
,即
,

所以
平分
. …………………………………5分

（Ⅱ）解：因为
为半圆的切线，由弦切角定理得
，又因为
，所以
，可得
,则
,又因为
，
，
所以
, 即
. ………………10分

23解：（Ⅰ）曲线
的普通方程为
，……………………2分

曲线
的直角坐标方程为
…………………5分

（Ⅱ）设
，由题意知，点到直线
距离
为

，……………8分

当
时，
取最小值
，

此时点
.………………………………………………10分

24解：

（Ⅰ）当
时，不等式
可化为

或
或
，……………………………3分

解得
或
，

不等式
的解集为
.…………5分

（Ⅱ）原不等式即为
恒成立 ，

，……………………………………8分

，解得
……………………………………10分