2015年温州市高三第二次适应性测试数学（理科）试题 2015.4

本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共4页，选择题部分1至2页，非选择题部分2至4页。满分150分，考试时间120分钟。

请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上.

参考公式：

柱体的体积公式：
其中表示柱体的底面积，表示柱体的高

锥体的体积公式：
其中表示锥体的底面积，表示锥体的高

台体的体积公式：
其中S1、S2分别表示台体的上、下底面积，表示台体的高

球的表面积公式：
球的体积公式：
其中表示球的半径

选择题部分（共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

1．下列函数中，既是奇函数又在其定义域上是增函数的是（ ▲ ）

A．
B．
C．
D．

2．命题“任意的
，都有
成立”的否定是（ ▲ ）

A．任意的
，都有
成立 B．任意的
，都有
成立

C．存在
，使得
成立 D．存在
，使得
成立

3．要得到函数
的图像，只需将函数
的图象（ ▲ ）

A．向左平移
个单位 B．向右平移
个单位

C．向左平移
个单位 D．向右平移
个单位

4．若某几何体的三视图（单位：
）如图所示，则此几何体

的体积是（ ▲ ）

A．

B．

　

C．

D．

若实数
满足不等式组
，且
的最小值等于
，则实数的值等于（ ▲ ）

A．
B． C．
D．

6．已知
，则方程
的根的个数是（ ▲ ）

A．3个 B．4个 C．5个 D．6个

7．在
中，
，，
分别为
的重心和外心，且
，则
的形状是（ ▲ ）

A．锐角三角形 B．钝角三角形

C．直角三角形 D．上述三种情况都有可能

如图所示，
是双曲线
上的三个点，

经过原点，
经过右焦点，若
且
，则该双曲线的离心率是（ ▲ ）

A．
B．
C．
D．

非选择题部分（共110分）

二、填空题：本大题共7小题，9-12题：每小题6分，13-15题：每小题4分，共36分。

9．集合
，若
,则
　▲　；
　▲　；
　▲　．

10．设两直线
与
，若
，则
　▲　；若
，则
　▲　．

11．已知
为正六边形，若向量
，则
　▲　；
　▲　（用坐标表示）．

12．设数列
是公差为
的等差数列，若
，则
　▲　；
　▲　．

13．设抛物线
的焦点为，为抛物线上一点（在第一象限内），若以
为直径的圆的圆心在直线
上，则此圆的半径为　▲　．

14．若实数
满足
，则
的范围是　▲　．

15．如图所示的一块长方体木料中，已知
，设

为底面
的中心，且
，则该长方体中

经过点
的截面面积的最小值为　▲　．

三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16．（本小题15分）已知函数
．

（I）求函数
的最小正周期；

（II）求函数
在
上的值域．

17．（本小题15分）如图所示，在三棱锥
中，
，平面
⊥平面
，
．

（I）求证：
平面
；

（II）求直线
与平面
所成角的正弦值．

18．（本小题15分）如图所示，椭圆
与直线
相切于点．

（I）求
满足的关系式，并用
表示点的坐标；

（II）设是椭圆的右焦点，若
是以为直角顶点的等腰直角三角形，求椭圆的标准方程．

19．（本小题15分）已知函数
．

（I）若
在区间
上不单调，求的取值范围；

（II）若对于任意的
，存在
，使得
，求的取值范围．

20．（本小题14分）已知数列
满足：
，且
．

（I）设
，求证
是等比数列；

（II）（i）求数列
的通项公式；

（ii）求证：对于任意
都有
成立．

2015年温州市高三第二次适应性测试

数学（理科）试题参考答案 2015.4

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

B

D

C

D

A

C

B

A



二、填空题：本大题共7小题，9-12题：每小题6分，13-15题：每小题4分，共36分.

9．
　　 10．
11．

12．
13．1 14.
15．

三、解答题

16．（本小题15分）（I）解法1：由已知得

……………………………………………5分

故函数
的最小正周期为
； ……………………………………………………7分

解法2：

，……………………………………5分

故函数
的最小正周期为
； ……………………………………………………7分

解法3：

………………………………5分

故函数
的最小正周期为
； ……………………………………………………7分

（II）由（I）得
………………………………8分

设

，当
时
………………………………10分

又函数
在
上为增函数，在
上为减函数， ………………………12分

则当
时
有最小值
；当
时
有最大值， ……………………14分

故
的值域为
………………………………15分

17．（本小题15分）解：（I）解法1：过做
⊥
于
………………………………2分

平面
⊥平面
，平面

平面

⊥平面
…………………………………………………………………………4分

⊥

又
⊥

平面
……7分

（II）解法1：过
做
⊥
交
延长线于点，连结

由（I）可知
平面

⊥
又

⊥平面
过
做
⊥
于
⊥

又

⊥平面

连结
,则
为直线
与平面
所成的角……11分

,

又

………………………………15分

（I）解法2：取
中点
，连结
，过
在平面
上作
，

平面
⊥平面

平面
，

又

分别以
为
轴建立空间直角坐标系……3分

则有
，设
，
，

得
……………………………6分

又
，


平面
……7分

（II）解法2：
，设平面
的法向量为

由
，
，得：

取
………………………………12分

又

……………15分

解法3：过在平面
中作
，过作
平面
，如图，分别以直线
为
轴建立空间直角坐标系，则有：
………………9分

由（I）可知
平面
，

设平面
的法向量为
，由
，得

取
…………………………………12分

又

………………15分

18．（本小题15分）解：（I）联立方程组
消元得：

①…………………………………………2分

相切
得：
② …4分

将②代入①式得：
解得

………………………………………………………………………………7分

（II）解法1：到直线
的距离
，
是等腰直角三角形

…………………………………12分

由②可得：
代入上式得：

得
即
……………………14分

又

椭圆的标准方程为：