湖北省襄阳一中2015届高三下学期3月月考文科数学试题

命题人：数学备课组 2015.3

一.选择题

1．设全集
，则图中阴影部分表示的集合为（ ）

A．
B．

C．
D．

2．已知
，命题
，则（ ）

A．是真命题，

B．是真命题，
：

C．是假命题，

D．是假命题，
：

A．
B．
C．
D．

5． 在
中，若角
所对的三边
成等差数列，给出下列结论：

①
；②
；③
；④
.

其中正确的结论是（ ）

A．①② B．②③ C．③④ D．①④

6．定义在R上的函数
满足
，且
时，

，则
（ ）

A．1 B．
C．
D．

7．一只受伤的丹顶鹤在如图所示（直角梯形）的草原上飞过，其中
，它可能随机在草原上任何一处（点），若落在扇形沼泽区域ADE以外丹顶鹤能生还，则该丹顶鹤生还的概率是（ ）

A．
B．
C．
D．

8．已知函数
，则它们的图象可能是（ ）

9．已知函数
对于任意的
满足
（其中
是函数
的导函数），则下列不等式不成立的是（ ）

A．
B．

C．
D．

10．已知函数
均为常数
，当
时取极大值，当
时取极小值，则
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

二.填空题

11．已知函数
有零点，则的取值范围是 .

12．已知命题
函数
的定义域为R；命题

，不等式
恒成立，如果命题“
“为真命题，且“
”为假命题，则实数的取值范围是 .

13．定义行列式的运算:
，若将函数
的图象向左平移
个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则的最小值为 .

14．如图，在边长为2的菱形ABCD中
，为
中点，则
、

15．如图，在第一象限内，矩形ABCD的三个顶点A，B，C分别在函数y=
的图像上，且矩形的边分别平行两坐标轴，若A点的纵坐标是2，则D点的坐标是

16．已知定义在R上的函数
，满足
，若

则

17．已知函数

①若
的图像在
处的切线经过点
，则=

②若对任意
，都存在
使得
，则实数的范围为

三.解答题

18．（本小题满分12分）已知函数
，
的最大值为2．

（Ⅰ）求函数
在
上的值域；

（Ⅱ）已知
外接圆半径
，
，角
所对的边分别是
，求
的值．

20．（本小题满分12分）已知数列
的前项和
，

（Ⅰ）求
的通项公式；

（Ⅱ）令
，求数列
的前项和
．

21．（本小题满分13分）已知椭圆C的对称中心为原点O，焦点在x轴上，左右焦点分别为
和
，且|

|=2，点（1，
）在该椭圆上．

（1）求椭圆C的方程；

（2）过
的直线
与椭圆C相交于A，B两点，若A
B的面积为
，求以
为圆心且与直线
相切圆的方程．

22．（本题满分13分）已知函数

（Ⅰ）讨论函数
的单调性；

（II）若函数
的图象在点
处的切线的倾斜角为
，对于任意的
，函数
在区间
上总不是单调函数，求的取值范围；

（Ⅲ）求证：

湖北省白水高中2015届高三下学期3月月考文科数学试题参考答案

1．D试题分析：因为图中阴影部分表示的集合为
，由题意可知

，所以

，故选

2．B试题分析：依题意得，当
时，
，函数
是减函数，此时
，即有
恒成立，因此命题是真命题，
应是“
”.综上所述，应选

4．C【解析】试题分析：双曲线
的一条渐近线的倾斜角的余弦值为
,所以
，即
，故选C.

5．D【解析】试题分析：因为
，所以①正确；当
时可验证②③均不成立；
，所以
，所以④正确；故选D.

6．C【解析】试题分析：由
，因为
，所以
，
，所以
.故选

7．B【解析】试题分析：过点作
于点，在
中，易知
，

梯形的面积
，扇形
的面积
，则丹顶鹤生还的概率
，故选

8．B【解析】试题分析：因为
，则函数
即
图象的对称轴为
，故可排除
；由选项
的图象可知，当
时，
，故函数
在
上单调递增，但图象中函数
在
上不具有单调性，故排除
本题应选

9．B【解析】试题分析：设
，则
.由已知得
，所以
在
上单调递增.所以
，选B.

10．D【解析】试题分析：因为
，依题意，得

则点
所满足的可行域如图所示（阴影部分，且不包括边界），其中
，
，
.

当
时，
，函数
单调递增.

故该函数的最小值为

因为该函数有零点，所以
，即
，解得

故的取值范围是
.

12．
【解析】试题分析：若命题为真，则
或
.若命题为真，因为
，所以
.因为对于
，不等式
恒成立，只需满足
，解得
或
.命题“
”为真命题，且“
”为假命题，则
一真一假.

①当真假时，可得
；

②当假真时，可得
.

综合①②可得的取值范围是
.

13．
【解析】试题分析：
，平移后得到函数

，则由题意得
，因为
，所以的最小值为
.

14．【解析】试题分析：在菱形
中，
，所以
是等边三角形，

．

15．
【解析】试题分析：由
可得点
，由
得点
，又
，即点
，所以点的坐标为
.

16．
【解析】试题分析：由
得，
，所以函数
是以为周期的周期函数，
．

17．①；②
．【解析】试题分析：①
，
，故
，故
的图像在
处的切线方程为
，把点
代入得
；②对任意
，都存在
使得
，即求出
在
的最大值
，与
在
的最小值
，
，解得
．

18．（1）值域为
；（2）
.

【解析】试题分析：（1）由题意，
的最大值为
，所以
．解之即可得
，从而得
．显然
在
上递增．在
递减，所以函数
在
上的值域为
；（2）化简
得
．由正弦定理，得
，因为△ABC的外接圆半径为
．
．两边除以
得，
.

试题解析：（1）由题意，
的最大值为
，所以
． 2分

而
，于是
，
． 4分

在
上递增．在
递减，

所以函数
在
上的值域为
； 5分

（2）化简
得
． 7分

由正弦定理，得
， 9分

因为△ABC的外接圆半径为
．
． 11分

所以
12分

19．（1）
，
；（2）存在；。

【解析】试题分析：（1）用基本量法，即用
和
表示条件即可求数列
的通项公式；由
时，
可得到数列
是一等比数列，进一步可求其通项公式；

（2）用公式直接求

，用错位相减法求数列
的前项公式
，计算
与
比较大小求出的最小值即可.

试题解析：（1）设数列
的公差为
，依条件有
，

即
，解得
（舍）或
，

所以
. 2分

由
，得
，

当
时，
，解得
，

当
时，
，

所以
，

所以数列
是首项为
，公比为
的等比数列，

故
. 5分

（2）由（1）知，
，

所以
①

②

得
. 9分

又
.

所以
，

当
时，
，

当
时，
，所以
，

故所求的正整数存在，其最小值是2. 13分

20．（Ⅰ）
；（Ⅱ）
.

【解析】试题分析：（Ⅰ）涉及
与
的等式，都再往前或往后递推再得一等式，二者相减得递推公式，利用递推公式便求出通项公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：
，
，这显然用裂项法求和.

试题解析：（Ⅰ）由
①

可得：

．

同时
②

②-①可得：

．

从而
为等比数列，首项
，公比为