湖北省 八校

2015届高三第二次联考数学试题（文科）

命题学校：黄冈中学 命题人：胡小琴 审题人：曾建民

考试时间：2015年4月1日 下午15:00—17:00 试卷满分：150分

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合
（其中为虚数单位），
，
，则复数的共轭复数为

A．
B．
C．
D．

2．若变量，满足约束条件
，则
的最大值为 　　

A．
B． C．
D．

3．从某校高三年级中随机抽取一个班，对该班50名学生的高校招生体检

表中的视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如图所示，若某高校专业对视力的要求在0.9以上，则该班学生中能报专业的人数为

A．10 B．20 C．8 D．16

4．已知
中，内角, ,
所对的边长分别为,
,，若
，且
，
，则

的面积等于

A．
B．
C．
D．

5.《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题：把100个面包分给5个人，使每个人的所得成等差数列，且使较大的三份之和的
是较小的两份之和，则最小一份的量为

A．
B．
C．
D．

6．已知某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的外接球的表面积等于

A．
B．
C．
D．

7．将一枚骰子先后抛掷两次得到的点数依次记为，
，则直线
与圆

无公共点的概率为

A.
B.
C.
D.

8．下列命题为真命题的是

A．已知
，则“
”是“
”的充分不必要条件

B．已知数列
为等比数列，则“
”是“
”的既不充分也不必要条件

C．已知两个平面，
，若两条异面直线
满足
且∥
，∥，则∥

D.
，使
成立

9．对于函数
，若存在区间
，使得
，则称函数
为“可等域函数”，区间为函数
的一个“可等域区间”．下列函数中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”为

A．
B．

C．
D．

10．已知二次函数
图象的顶点坐标为
，与轴的交点,
位于轴的两侧，以线段
为直径的圆与轴交于
和
，则点
所在曲线为

A． 圆 　B．椭圆 C．双曲线 　　　 D．抛物线

二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置、书写不清、模棱两可均不得分．

11．设向量
，
，则向量
在向量
方向上的投影为 ．

12．已知为钝角，且
，则
= ．

13．设函数
，则方程
的解集为 ．

14．已知抛物线
的焦点为，准线为直线
，过抛物线上一点作
于，若直线
的倾斜角为
，则
．

15．已知函数
的图象在点
处的切线与直线

垂直，执行如图所示的程序框图，输出的
值是 ．

16．在
上的函数
满足：①
为正常数）；②当
时，
，若函数
的图象上所有极大值对应的点均落在同一条直线上，则等于__________．

17．若集合具有以下性质：①
，
；②若
，则
；且
时，
，

则称集合是“完美集”．给出以下结论：

①集合
是“完美集”； ②有理数集
是“完美集”；

③设集合是“完美集”，若,
，则
；

④设集合是“完美集”，若,
，则必有
；

⑤对任意的一个“完美集”，若
，且
，则必有
．

其中正确结论的序号是　　　　　　　．

三、解答题：本大题5小题，共65分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

18. （本小题满分12分）

函数
（其中
）的图象如图所示，

把函数
的图象向右平移
个单位，再向下平移1个单位，得

到函数
的图象．

（Ⅰ）求函数
的表达式；

（Ⅱ）已知
内角
的对边分别为
，且
．若向量
与
共线，求
的值．

19.（本小题满分12分）

数列
中，
，
，数列
满足
，
．

（Ⅰ）若数列
是等差数列，求数列
的前
项和
；

（Ⅱ）若数列
是公差为的等差数列，求数列
的通项公式．

20.（本小题满分13分）

如图，梯形
中，
于,
于,且

，现将
，
分别沿
与
翻折，使点与点重合，点
为
的中点，设面
与面
相交于直线
，

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）求证：
面
．

21. （本小题满分14分）

已知函数
，

（Ⅰ）求函数
的单调区间，并判断是否有极值；

（Ⅱ）若对任意的
，恒有
成立，求
的取值范围；

（Ⅲ）证明：
（
）．

22．（本小题满分14分）

已知椭圆
：
，若椭圆
上的一动点到右焦点的最短距离为
，且右焦点到直线
的距离等于短半轴的长．已知点
，过点的直线与椭圆
交于
,
两点，点与点
关于轴对称．

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）求
的取值范围；

（Ⅲ）证明：直线
恒过某定点．

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2015届高三第二次联考

数学试题（文科）参考答案

一、选择题
1-5
6-10

二．填空题

11.
12.
13.
14．

15.
16.
17 ②③④⑤

1.【解析】选．由
，可得
，即得
，
，的共轭复数为

2.【解析】选
．线性约束区域如下图，
看作是
，当经过
与
的交点
时，取最大值
．

3.【解析】选．满足条件的有3组：视力在0.9到1.1；视力在1.1到1.3；视力在1.3到1.5，纵轴表示的是频率/组距，所以可以报考A专业的有(1+0.75+0.25) 0.250=20(人).

4.【解析】选.由正弦定理可得
，即
，所以
，因此这是一个正三角形．

5.【解析】选
．易得中间的那份为20个面包，设最小的一份为
，公差为
，根据题意，于是有[20+(
)+(
)]
(
)，解得
=
．

6.【解析】选．这是一个正三棱柱，外接球的球心就是两底面三角形的中心连线的中点，外接球的半径等于球心到正三棱柱的任意一个顶点的距离，可求半径为
，那么外接球的表面积为
．

7．【解析】B．直线
与圆
无公共点,则有
，满足该条件的基本事件有15种，基本事件总数是36种，故所求概率为
．

8.【解析】选
．选项中，
是
的必要不充分条件，所以错；

选项中，由
得
或
，可以推出
；但若
，则该数列有可能是摆动的等比数列，如：1，－1，1，－1，1，－1……，此时推不出
，所以错；选项中，当
时，

，所以错．

9.【解析】选．选项A中，区间
都可以是“等可域区间”；选项C，D中，函数均为增函数且与
不可能有两个交点；选项B中，“等可域区间”为
．

10【解析】选．结合二次函数的顶点坐标为(
)，根据题意可得
，①，二次函数图像和x轴的两个交点分别为(
)和(
)，利用射影定理即得：

，结合①先求出和之间的关系，代入①可得到，(
)所在的曲线为
，表示椭圆．

11.【解析】
．向量
在向量
方向上的投影为
．

12.【解析】
．
，即
，又为钝角，
，
．

13．【解析】
．令
=
或
=
或
．

14.【解析】
．点只能在抛物线上半部分，设点为