一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．）

1、若集合
，函数
的定义域为，则

A．
B．
C．
D．

2、若复数
（
，为虚数单位）是纯虚数，则实数的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

3、某企业在甲、乙、丙、丁四个城市分别有
个、
个、
个、
个销售点．为了调查产品的质量，需从这
个销售点中抽取一个容量为
的样本，记这项调查为①；在丙城市有
个特大型销售点，要从中抽取
个调查，记这项调查为②，则完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次为（ ）

A．分层抽样法、系统抽样法 B．分层抽样法、简单随机抽样法

C．系统抽样法、分层抽样法 D．简单随机抽样法、分层抽样法

4、已知向量
与
的夹角为
，且
，
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

5、由曲线
与
所围成的封闭图形的面积是（ ）

A．
B．
C．
D．

6、若
，则
的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

7、设变量、满足约束条件
，则
的最小值为（ ）

A．
B．
C．
D．

8、在每条棱长都相等的底面是菱形的直棱柱
中，
，侧棱
与对角线
所成的角为
，则
为（ ）

A．
B．
C．
D．

9、一个袋子中有号码为、、
、、
大小相同的
个小球，现从袋中任意取出一个球，取出后不放回，然后再从袋中任取一个球，则第一次取得号码为奇数，第二次取得号码为偶数球的概率为（ ）

A．
B．
C．
D．

10、阅读右面程序框图，如果输出的函数值在区间
内，那么输入实数的取值范围是（ ）

A．
B．

C．
D．

11、已知是双曲线
（
，
）上的点，
、
是其焦点，双曲线的离心率是
，且
，若
的面积为
，则
的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

12、若
，当
时，
，若在区间
内
有两个零点，则实数的取值范围为（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）

13、已知
的展开式中，常数项为
，则
（用数字填写答案）．

14、在
中，角、、
的对边长分别是、
、，若
，
，
，则
．

15、设经过点
的直线
与抛物线
的两个交点为、，经过、两点分别作抛物线的切线，若两切线互相垂直，则直线
的斜率等于 ．

16、已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是顶角为
的等腰三角形，则该三棱锥的外接球体积为 ．

三、解答题（本大题共6小题，共70分．）

17、（本小题满分12分）已知递增的等比数列
前三项之积为
，且这三项分别加上、、后又成等差数列．

求等比数列
的通项公式；

若不等式
对一切
恒成立，求实数
的取值范围．

18、（本小题满分12分）
台发动机分别安装在甲、乙、丙
个车间内，每个车间
台，每台发动机正常工作的概率为
．若一个车间内至少有一台发动机正常工作，则这个车间不需要停产维修，否则需要停产维修．

求甲车间不需要停产维修的概率；

若每个车间维修一次需万元（每月至多维修一次），用
表示每月维修的费用，求
的分布列及数学期望．

19、（本小题满分12分）如图，三棱柱
中，侧面
底面
，
，
且
，
为
中点．

设为
中点，连接
，证明：
平面
；

求二面角
的余弦值．

20、（本小题满分12分）已知椭圆

（
）的离心率为
，过椭圆顶点
，
的直线与圆
相切．

求椭圆
的方程；

若过点
的直线与椭圆
相交于两点，，设为椭圆上一点，且满足
（
为坐标原点），当
时，求实数的取值范围．

21、（本小题满分12分）已知函数
，为正常数．

若
，且
，求函数
的单调增区间；

若
，且对任意
，
，
，都有
，求实数的取值范围．

23、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

已知直线
的参数方程为
（为参数）．曲线
的极坐标方程为
．直线
与曲线
交于，两点，与轴交于点．

求曲线
的直角坐标方程；

求
的值．

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

A

B

B

C

B

A

B

C

D

A

C

D



二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

１３．２　　　１４．
　　　　１５．
　　　　１６．

三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

１８．(本小题满分12分）

解：（1）记某台发动机正常工作的事件为A, 甲车间3台发动机都出现故障的事件为M, 甲车间3台发动机至少有一台能正常工作的事件为N.

则
…………………………………………………………………………1分

…………………………………………………3分

甲车间不需停产维修的概率为
.……………………………………………………5分

(2) 记
表示每月维修的费用，那么
可取0,1,2,3(单位: 万元) …………………………6分

依题意有:
……………………………………………………7分
…………………………………………………8分

…………………………………………………9分

………………………………………………………………10分

的分布列为:

0

1

2

3
















的数学期望为:

…………………………………12分

１９．（本小题满分12分）

证明：（１）取
中点，连接
…1分

∵为
中点．

∴
，

∴面
面
．…………………3分

又∵
面
…………………4分

∴
平面
． …………………6分

证法二：∵
，且Ｏ为
的中点，

∴
．又由题意可知，

平面
平面
，交线为
，

且
平面
，

∴
平面
．

以Ｏ为原点，
所在直线分别为
轴建立空间直角坐标系．……………1分

由题意可知，
又

∴得:
…………………2分

则有：
，
，

设平面
的一个法向量为
，则有
即

令
，得

∴
．……………………………………………………………………4分

又∵是
的重点，则
，∴
………………………5分

∵
，∴
平面
……………………………………………………6分

（２）由法二，已知
，设面
的法向量为
，

则
得

………………………………………………8分

令
，所以
．………………………………………………………9分

所以
＜

……………………………………11分

根据图象，得二面角
的余弦值为
…………………………………12分

2０．（本小题满分12分）

解：（１）由题意知
，……………………………………………………1分

∴
．即
……
…………………………………………2分

∵ 过椭圆顶点
的直线
与圆
相切

…………