2015届第二次模拟考试理科数学试题（A卷）

（满分150分，考试时间120分钟）

第Ⅰ卷（共60分）

一.选择题：(5′×12=60′)

1.已知A=｛x|x≥k｝，B=｛x|
<1｝，若AB则实数k的取值范围为（ ）

A.(1,+∞) B.(-∞,-1) C.(2,+∞) D.[2,+∞)

2.复数
的共轭复数
=（ ）

A.2+ B.2- C.1+2 D.1-2

3.设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时恒有f(x+2)=f(x)，当x∈[0,2]时，

f(x)=ex1，则f(2014)+f(-2015)=（ ）

A.1-e B.e-1 C.-1-e D.e+1

4.在锐角三角形ABC中，BC=1， B=2A，则
的值为（ ）

A.6 B.4 C.2
D.2

5.一个算法的程序框图如右图所示，若输入的x值为2015，

则输出的值为（ ）

A.3 B.5 C.6 D.9

6. a=b是直线y=x+2与圆(x-a)2+(y-b)2=2相切的（ ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

7.已知向量
与
的夹角为120°，|
|=3，|
+
|=
，则|
|=（ ）

A.5 B.4 C.3 D.1

8.设Sn为等差数列｛an｝的前n项和，给出四个结论：

(1)a2+a8≠a10

(2)Sn=an2+bn(a≠0)

(3)若m,n,p,q∈N+，则am+an=ap+aq的充要条件是m+n=p+q

(4)若S6=S11，则a9=0

其中正确命题的个数为（ ）

A.1 B.2 C.3 D.4

9.已知双曲线
-
=1(a>0,b>0)的左、右焦点为F1(-c,0)，F2(c,0)，若直线y=2x与双曲线的

一个交点的横坐标为c，则双曲线的离心率为

A.
+1 B.
+1 C.
+
D.

10.若a>0,b>0，lga+lgb=lg(a+b)，则a+b的最小值为（ ）

A.8 B.6 C.4 D.2

11.若二项式(
)6的展开式中的常数项为m，则
=（ ）

A.
B.-
C.
D.-

12.定义在[0,+∞)的函数f(x)，对任意x≥0，恒有f(x)>f′(x)，a=
，b=
，

则a与b的大小关系为（ ）

A.a>b B.a

第Ⅱ卷（共90分）

二．填空题：(5′×4=20′)

13.一个类似杨辉三角形的数阵：

则第九行的第二个数为

14.某班班会，准备从包括甲、乙两人的七名同学中选派4名学生发言，要求甲、乙两人中

至少有1人参加，则甲、乙都被选中且发言时不相邻的概率为

15.已知满足条件
的动点(x,y)所在的区域D为一直角三角形区域，

则区域D的面积为

16.已知函数f(x)对一切实数a、b满足f(a+b)=f(a)·f(b)，f(1)=2，(且f(x)恒非零)，数列｛an｝的

通项an=
(n∈N+)，则数列{an}的前n项和=

三.解答题: （12′×5+10′=70′）

17.已知函数f(x)=
sin(x+
)cos(x+
)+sin2(x+
)(0<φ<
)的图象经过点(
,1)

(1)求f(x).

(2)在△ABC中，A、B、C的对边为a、b、c，a=
，S△ABC=2
，角C为锐角且

f(

)=
，求C边长

18.某同学参加语、数、外三门课程的考试，设该同学语、数、外取得优秀成绩的概率分别为
，

m，n(m>n)，设该同学三门课程都取得优秀成绩的概率为
，都未取得优秀成绩的概率为
，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立。

(1)求m，n。

(2)设X为该同学取得优秀成绩的课程门数，求EX。

19.如图，在底面为菱形ABCD的四棱柱ABCD—A1B1C1D1

中，∠ABC=60°，AA1=AB=2，A1B=A1D=2
.

(1)求证：AA1⊥面ABCD。

(2)若点E在A1D上，且
=2，求二面角E—AC—D。

20.椭圆
+
=1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为
，过点F1的直线
交椭圆

于A、B两点，△AF2B的周长为8.

(1)求椭圆方程。

(2)若椭圆的左、右顶点为C、D，四边形ABCD的

面积为
，求直线
的方程。

21.已知函数f(x)=alnxax3(a∈R)。

(1)求f(x)的单调区间

(2)设a=-1，求证：当x∈(1,+∞)时，f(x)+2>0

(3)求证：
·
·
……
<
(n∈N+且n≥2)

2015届第二次模拟考试数学（理）参考答案

一、选择题：(5′×12=60′)（A卷） CDADA ABAAC CA

（B卷） DCBCB BCDBD AC

二、填空题：(5′×4=20′) 13.66； 14.
； 15.1； 16. 4n；

三、解答题：（12′×5+10′=70′）

17.(1)∵f(x)=
sin(x+
)cos(x+
)+sin2(x+
)=
sin(2x+φ)+

=
sin(2x+φ)-
cos(2x+φ)+
=sin(2x+φ-
)+
………………..3分

∵图象经过点(
,1)

∴sin(2·
+φ-
)+
=1即sin(
+φ)=
∴cosφ=

∵0<φ<
∴φ=
∴f(x)=sin(2x+
)+
…………………………..6分

(2)∵f(
-
)=sinc+
=
∴sinc=
∴cosc=
……………..……….8分

∵S△ABC=
absinc=
·
·b·
=2
∴b=6 ……………………………..10分

∴c2=a2+b2-2abcosc=5+36-2·
·6·
=21 ∴c=
…………….…….12分

18.(1)设该同学语、数、外取得优秀成绩分别为事件A、B、C

∴P(A)=
P(B)=m P(C)=n ………………………………………1分

由已知条件可知：P(ABC)=
P(


)=

∴
… …………………………………………4分

又m>n，则m=
n=
……………………………………………..……....6分

(2)∵X=0,1,2,3

P(X=0)=

P(X=1)=P(A

+
B
+

C)=

P(X=2)=P(AB
+A
C+
BC)=

P(X=3)=

∴x的分布列为

x

0

1

2

3



P











∴EX=0
+1
+2
+3
=
……………………………..12分

20.(1)∵|AF1|+|AF2|=2a |BF1|+|BF2|=2a

∴|AF2|+|BF2|+|AB|=4a ∴4a=8 ∴a=2

又∵e=
=
∴c=1 ∴b2=a2-c2=3

∴椭圆方程为
+
=1 …………………4分

(2)设直线
的方程为x=ky-1

代入椭圆方程并化简得(3k2+4)y2-6ky-9=0

设A(x1,y1)、B(x2,y2) |y1-y2|=
）..…….………8分

∵S△ACBD=
·|CD|·|y1-y2|=2|y1-y2|=
∴
=
∴k=±1 ….. 11分

∴直线
的方程为x±y+1=0 .……………….………………………………………..12分

21.(1)f′(x)=

1°若a=0 则f(x)=-3 无单调区间

2°若a>0 则当x∈(0,1)时 f′(x)>0 当x∈(1,+∞)时 f′(x)<0

∴f(x)在(0,1)递增 （1,+∞）递减

3°若a<0 f(x)在(0,1)递减 在(1,+∞)递增 ………………………..5分

(2)∵a=-1 ∴f(x)=-lnx+x-3

由(1)知f(x)在(1,+∞)递增∴f(x)>f(1)=-2 ∴f(x)+2>0 。……………….7分

(3)由(2)知当x∈(1,+∞)时 -lnx+x-1>0 ∴x-1>lnx

∵n≥2 ∴lnn

∴
·
·
……
<
·
·
……
=
….……………….. 12分