一、选择题（每小题5分，共50分）

1．已知全集
集合
,则
( )

A．
B．
C．
D．

2．已知为虚数单位，若
则复数所对应的点所在的象限是（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．二项式
的展开式中的常数项是 （ ）

A．
B．
C．45 D．65

4．若双曲线
经过点
,则该双曲线的离心率为（ ）

A．
B．
C． D．

5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）（单位
）.

A．
B．
C．
D．

6．已知
函数是一个求余函数，其格式为
，其结果为除以的余数，例如
. 下面是一个算法的程序框图，当输入的值为
时，则输出的结果为（ ）.

A．4 B．5 C．6 D．7

7．命题
关于的方程
有三个实数根；命题
;则命题成立是命题成立的（ ）

A．充分而不必要的条件 B．必要而不充分的条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要的条件

8.已知等差数列
满足
数列
的前项和为
则
的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

9．已知函数
的两个零点为
并且
则
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

10．已知
是半径为5的圆
的内接三角形，且
若
则
的最大值为（ ）

A．
B．
C．1 D．

二、填空题（11、12、13小题必做，14、15、16小题选做两个小题，每小题5分，共25分）

11．函数
(
的零点是

12．在编号为1，2，3，4，5，6的六个盒子中放入两个不同的小球，每个盒子中最多放入一个小球，且不能在两个编号连续的盒子中同时放入小球，则不同的放小球的方法有
种

13．已知随机变量
服从正态分布
若
,则函数
的值域是

14．如图，
与圆
相切于点
又点在圆内，
与圆相交于点
若

那么该圆的半径的长为

15．在直角坐标系
中，曲线
的参数方程为
为参数），若以原点
为极点、轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为
若曲线
与曲线有且只有一个公共点，则实数的值为

16．若关于的不等式
的解集为
则实数的取值范围是

三、解答题（第17、18、19每小题13分，第20、21、22每小题12分，共75分）

17．已知函数

（1）若曲线
在点
处的切线方程为
求
的值；

（2）若
且关于的不等式
在
上恒成立，求实数的取值范围.

18．已知函数
,且函数
的最大值为2、最小正周期为
，并且函数
的图像过点

（1）求函数
的解析式；

（2）设
的角
的对边长分别为
,且
求
的取值范围.

19．环保部门对甲、乙两家化工厂的生产车间排污情况进行检查，从甲厂家的5个生产车间和乙厂家的3个生产车间做排污是否合符国家限定标准的检验.检验员从以上8个车间中每次选取一个车间不重复地进行检验.

（1）求前3次检验的车间中至少有一个是乙厂家的车间的概率；

（2）记检验到第一个甲厂家的车间时所检验的车间个数共为
，求
的分布列和数学期望

20．在四棱锥
中，底面
是边长为2的正方形，且
平面
,点
是棱
的中点.

（1）若
求点
到平面
的距离；

（2）过直线
且垂直于直线
的平面交
于点
如果三棱锥
的体积取到最大值，求此时二面角
的大小的余弦值.



21．已知椭圆
的右顶点、上顶点分别为
坐标原点到直线
的距离为
且

（1）求椭圆
的方程；

（2）过椭圆
的左焦点
的直线
交椭圆于
两点，且该椭圆上存在点,使得四边形
图形上的字母按此顺序排列）恰好为平行四边形，求直线
的方程.

22．数列
的前项和为
且

（1）求数列
的通项公式

（3）求证：对任意

为自然对数的底数).



7.由方程
易知函数
是上的奇函数，由
的图像可知，函数
在
上的最大值是1，根据图像的对称性知函数
在
上的最小值为
又函数
的图像与轴有3个交点，那么原方程有3个实数根的充要条件是
而

所以选择

8.在等差数列
中，
又数列
的公差
所以
,那么

,故

9.由函数
有两个零点
且
,则有

在坐标系
中作出平面区域,图中的
内（不包括边界）的平面区域为所求，又
,

设
,令点
则
是平面区域内的点到定点
的距离，而点
线段
的中点
直线
的斜率

直线
的斜率
所以
那么
点到直线
的距离为

且
因为

10.延长
与
相交于点
作
∥
∥

∥
∥

设
易知
则

又
三点共线，所以

,只需
最小，就能使

最大，所以当
最小即可，过点
作
于点
从而

又
由
那么

11.
12.20 13.
14.

15.
16.

12.设两个不同的小球为
当放入1号盒或者6号盒时，有4种不同的放法；当放入2，3，4，5号盒时，有3种不同的放法，一共有
=

20种不同的放法.

13.易知正态曲线关于直线
对称，所以
则有

,令
函数
在
上是增函数，所以

14.如图所示，延长
与圆
相交于点
直线
与圆
相交于点
设

根据切割线定理得
又根据相交弦定理得

15.由
曲线的直角坐标方程为直线

当直线与抛物线段相切时，由

可得公共点为

满足题目的条件；而抛物线段的两个端点为

当直线过点时可求得
当直线过点时可求得
,由图可知，当
时，直线
与抛物线段有唯一的公共点.

16.方法（1）：代数法，分类与整合

若
原不等式变化为
恒成立，此时的

若
原不等式变化为
恒成立，因为
所以

;

若
原不等式变化为
恒成立，因为
,所以

综上所述，

方法（2）：数形结合

作出函数
和函数
的图像，由图可知，只需直线
的斜率满足
即可.

三．17.(1)因为
又

那么

(2)
恒成立，设函数
函数
在
是减函数，则
所以

18.(1)易求得

(2)因为
由正弦定理得
,又

,则

19.（1）

(2)由题意知