东北育才学校高中部2014—2015学年度高三年级第五次模拟考试

数学科(理)试卷

总分：150分 时间：120分钟 命题人：高三数学备课组

第Ⅰ卷 (选择题共60分)

一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.设集合
，若
（为自然对数底），则

A.
B.
C.
D.

2.设
，则“
”是“
”的

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.非不充分不必要条件

3.若
，则

A.
B.
C.
D.

4.已知
，则下列不等式一定成立的是

A．
B．
C．
D．

5.阅读如右图所示的程序框图，则该算法的功能是

A．计算数列
前
项的和 B．计算数列
前
项的和

C．计算数列
前
项的和 D．计算数列
前
项的和

6.设
满足
则

A.有最小值2，最大值3 B.有最小值2，无最大值

C.有最大值3，无最小值 D.既无最小值，也无最大值

7.如图， 一个四棱锥的底面为正方形，其三视图

如图所示，则这个四棱锥的侧面积为

A． B．

C．
D．

8.已知双曲线
的左，右焦点分别为
，
，过点
的直线与双曲线

的右支相交于，
两点，且点的横坐标为，则△
的周长为

A．
　 B．
C．
　 D．

9.将函数
的图象向左平移
个单位，再向上平移个单位，所得图象的函数解析式是

A．
B．
C．
D．

10.已知数列
为等比数列，且
，则
的值为

A． B．
C．
D．

11.若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为，则圆锥的体积为

A． B．
C．
D．

12.已知
R，且
≥
对∈R恒成立，则
的最大值是

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷(非选择题共90分)

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．

13.若
的展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64，则

.

14. 有一名同学在书写英文单词“error”时，只是记不清字母的顺序，那么他写错这个单词的概率是 .

15. 已知
是椭圆
长轴的两个端点，
是椭圆上关于轴对称的两点，直线
的斜率分别为
，且
。若
的最小值为1，则椭圆的离心率为 .

16. 若关于的函数
（
）的最大值为
，最小值为，且
，则实数的值为 .

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17. (本小题满分12分）已知
是斜三角形，内角
所对的边的长分别为
．若
．

（Ⅰ）求角
；

（Ⅱ）若=
，且
求
的面积.

18.（本小题满分12分）在直三棱柱
中，底面
是边长为2的正三角形，
是棱
的中点，且
.

（Ⅰ）试在棱
上确定一点
，使
平面
；

（Ⅱ）当点
在棱
中点时，求直线
与平面

所成角的大小.

19．（本小题满分12分）有一种舞台灯，外形是正六棱柱，在其每一个侧面(编号为①②③④⑤⑥)上安装5只颜色各异的灯，假若每只灯正常发光的概率为0.5，若一个侧面上至少有3只灯发光，则不需要更换这个面，否则需要更换这个面，假定更换一个面需要100元，用表示更换的面数，用
表示更换费用.

（Ⅰ）求①号面需要更换的概率；

（Ⅱ）求6个面中恰好有2个面需要更换的概率；

（Ⅲ）写出的分布列，求
的数学期望.

20. (本小题满分12分）已知函数

（Ⅰ）曲线
在点
处的切线方程为
，求的值；

（Ⅱ）当
时，不等式
恒成立，试求的取值范围.

21．（本小题满分12分）已知抛物线
的焦点为，为
上异于原点的任意一点，过点的直线
交
于另一点，交轴的正半轴于点，且有
.当点的横坐标为
时，
为正三角形.

（Ⅰ）求
的方程；

（Ⅱ）若直线
，且
和
有且只有一个公共点，

（ⅰ）证明直线
过定点，并求出定点坐标；

（ⅱ）
的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．

22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，
是⊙
的一条切线，切点为，直线
，
，

都是⊙
的割线，已知
．

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）若
，
．求
的值．

23．（本小题满分10分）选修4—4：极坐标与参数方程

在直角坐标系
中，以
为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线
的极坐标方程为
．圆
的参数方程为
，（
为参数，
）.

（Ⅰ）求圆心的一个极坐标；

（Ⅱ）当为何值时，圆
上的点到直线
的最大距离为3．

24.（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲

设函数
，

（Ⅰ）证明

（Ⅱ）若不等式
的解集非空，求的取值范围.

2014—2015学年度高三年级第五次模拟考试数学科(理)答案

一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.C 2.A 3.B 4.D 5.C 6.B 7.C 8.D 9.A 10.C 11.C 12.A

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．

13.
14.
15.
16. 2

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.解：（I）根据正弦定理
，可得
，

，可得
，得

,
…………6分

（II）

，

为斜三角形，
，
，

由正弦定理可知
……（1）

由余弦定理

…..（2）

由（1）（2）解得

. …………12分

18.解：（Ⅰ)取
边中点为

∵底面
是边长为的正三角形，∴

连接
，∵
是边
的中点

∴
，

所以可以建立以为坐标原点，
为轴，
为轴，

为轴如图所示的坐标系 ……………………2分

则有
，
，
，
，

，
，
，

设
，则
，
，
…4分

若
，则有
，

∴
可得

即当
时，
. …………6分

（Ⅱ) 当点
在棱
中点时：

∴
，
，设平面
的一个法向量

∴
令
，得
，

∴
…………………9分

设直线
与平面
所成角为
，则

所以直线
与平面
所成角

……………12分

19.解(1)因为①号面不需要更换的概率为：

所以①号面需要更换的概率为：P=1-
=
…………3分

(2)根据独立重复试验，6个面中恰好有2个面需要更换的概率为：

P6(2)=
…………6分

(3)因为
，又P6(0)=
，P6(1)=
，P6(2)=
，

P6(3)=
，P6(4)=
，P6(5)=
，P6(6)=
…………9分

的分布列为：

0

1

2

3

4

5

6



P


















=100，E
=100E=300 …………12分

20.（Ⅰ）已知
则
，

，由题意知
，∴
∴
…………… 4分

（II）令

则

i)当
时，
，

当
时，
，即

∴函数
在
上为增函数

∴
，即当
时，

ii)当
时，
，

∴
时，
，

从而
，即

从而函数
在
上为减函数

∴
时
，这与题意不符

综上所述当
时，
，的取值范围为
…………… 12分

21.解：（I）由题意知
，设
，则FD的中点为
，

因为
，由抛物线的定义知：