东北育才学校高中部2014—2015学年度高三年级第五次模拟考试

数学科(文)试卷

总分：150分 时间：120分钟 命题人：高三数学备课组

第Ⅰ卷(选择题共60分)

一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.设集合
，若
（为自然对数底），则

A.
B.
C.
D.

2.设
，则“
”是“
”的

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.非不充分不必要条件

3.若
，则

A．
B．
C．
D．

4.已知
，则下列不等式一定成立的是

A．
B．
C．
D．

5.如图所示，四面体ABCD的四个顶点是长方体的四个顶点（长方体是虚拟图形，起辅助作用），则四面体ABCD的三视图是（用①②③④⑤⑥代表图形）

A．①②⑥ B．①②③ C．④⑤⑥ D．③④⑤

6.阅读如右图所示的程序框图，则该算法最后输出的结果为

A．15 B．31 C．63 D．127

7. 设
满足
则

A.有最小值2，最大值3 B.有最小值2，无最大值

C.有最大值3，无最小值 D.既无最小值，也无最大值

8. 从某高中随机选取5名高三男生，其身高和体重的数据如下表所示：

身高x（cm）

160

165

170

175

180



题中y（kg）

63

66

70

72

74



根据上表可得回归直线方程
，据此模型预报身高为
的高三男生的体重为

A.
B.
C.
D.

9.已知双曲线
的左，右焦点分别为
，
，过点
的直线与双曲线

的右支相交于，
两点，且点的横坐标为，则△
的周长为

A．
　 B．
C．
　 D．

10.将函数
的图象向左平移
个单位，再向上平移个单位，所得图象的函数解析式是

A．
B．
C．
D．

11. 若曲线
上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线
的“自公切线”.下列方程：①
；②
；

③
；④
对应的曲线中存在“自公切线”的有

A．①② B．②③ C．①④ D．③④

12.若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为，则圆锥的体积为

A. B.
C.
D.

第Ⅱ卷(非选择题共90分)

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．

13. 公共汽车在8：00到8：20内随机地到达某站，某人8:15到达该站，则他能等到公共汽车的概率为____________．

14.已知单调递增的等比数列
中，
，
，则数列
的前

项和
．

15. 若关于的函数
（
）的最大值为
，最小值为

，且
，则实数的值为 ．

16．在平面直角坐标系
中，已知点在椭圆
上，点满足

，且
，则向量
在
方向上的正射影数量的为 ．

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.(本小题满分12分）已知
是斜三角形，内角
所对的边的长分别为
．己知
．

（I）求角
；

（II）若=
，且
求
的面积．

18.（本小题满分12分）在直三棱柱
中，底面
是边长为2的正三角形，
是棱
的中点，且
.

（Ⅰ）证明：
平面
；

（Ⅱ）棱
上是否存在一点
，使
平面
，

若存在，求出
的长；若不存在，说明理由.

19．（本小题满分12分）“光盘行动”已经发起两年，为了调查人们的节约意识，某班几位同学组成研究性学习小组，从某社区
岁的人群中随机抽取人进行了一次调查，得到如下统计表：

组数

分组

频数

频率

关盘组占本组的比例



第一组

[25,30）

50

0.05

30%



第二组

[30,35）

100

0.1

30%



第三组

[35,40）

150

0.15

40%



第四组

[40,45）

200

0.2

50%



第五组

[45,50）





65%



第六组

[50,55）

200

0.2

60%



（1）求
的值，并估计本社区
岁的人群中“光盘族”人数所占的比例；

（2）从年龄段在
的“光盘族”中采用分层抽样法抽取8人参加节约粮食宣传活动，并从这8人中选取2人作为领队，求选取的2名领队分别来自
和
两个年龄段的概率.

20. (本小题满分12分）已知椭圆的焦点坐标是
，
，过点
垂直于长轴的直线交椭圆与
两点, 且
．

(1)求椭圆的方程；

(2)过
的直线与椭圆交于不同的两点
，则
的内切圆面积是否存在最大值？若存在，则求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由．

21．(本小题满分12分)已知函数

(1)求函数
在点
处的切线方程；

(2)当
时，若函数
为上的单调递增函数，试求a的范围；

(3)当
时，证明函数
不出现在直线
的下方．

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．

22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，
是⊙
的一条切线，切点为，直线
，
，

都是⊙
的割线，已知
．

求证：
；

若
，
．求
的值．

23．（本小题满分10分）选修4—4：极坐标与参数方程

在直角坐标系
中，以
为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线
的极坐标方程为
．圆
的参数方程为
，（
为参数，
）.

(I)求圆心的一个极坐标；

(Ⅱ)当为何值时，圆
上的点到直线
的最大距离为3．

24.（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲

设函数
，

（Ⅰ）证明
；

（Ⅱ）若不等式
的解集非空，求的取值范围.

2014—2015学年度高三年级第五次模拟考试数学科(文)答案

一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.C 2.A 3.B 4.D 5.B 6.C 7.B 8.B 9.D 10.A 11.B 12.C

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．

13.
14.
15.2 16.

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.解：（I）根据正弦定理
，可得
，

，可得
，得

,
…………6分

（II）

，

为斜三角形，
，
，

由正弦定理可知
……（1）

由余弦定理

…..（2）

由（1）（2）解得

. …………12分

18.解：（Ⅰ) 连结
交
于点，连结
，

∵四边形
为矩形，∴为
的中点，

又∵
是棱
的中点

∴

∵
平面

平面

∴
平面
…………6分

（Ⅱ) 作
，交
于

∵
是棱
的中点

∴

∴
平面

∴

∴
平面

此时
∽

∴
，即
，∴

即当
时，
. …………12分

19、

…………6分

…………12分

20. 解析(1)设椭圆的方程是
,

由交点的坐标得:
, 由
,可得

故直线
,
内切圆的面积最大值是

21. 解：(1)∵f′(x)＝ex－2ax，∴f′(0)＝1

所以f(x)在点P(0,1)处的切线方程为y－f(0)＝f′(0)(x－0)，即y＝x＋1.……4分

(2)由题意f′(x)＝ex－2ax≥0恒成立

x＞0时2a≤，令g(x)＝，则g′(x)＝，

由g′(x)＝0得x＝1，x＞1时g′(x)＞0，x＜1时g′(x)＜0.

∴g(x)min＝g(1)＝e，∴ a≤；

x＜0时2a≥，∵＜0，2a≥0 恒成立；

综上，若函数f(x)为R上的单调递增函数，则0

（3）记
，

则

，∴
单调递增，又

∴
在
单调递减，在
单调递增

∴
，即函数
不出现在直线
的下方． …………12分

22.解:(Ⅰ)因为
为切线,
为割线,
,

又因为
,所以
.

所以
,又因为
,

所以
∽
,所以
,

又因为
,所以
,所以
------------------------------5分

(Ⅱ)由题意可得:
四点共圆,
.

∽
.

.

又∵
,
=4 ---------------------------------------------10分

23.

………………5分

……10分

24.（Ⅰ）

……………………………………5分

（Ⅱ）函数

函数的图象为：

当
时，
，依题意，
，则

∴的取值范围是
…………………………………………………………10分