大庆市高三年级第三次教学质量检测理科数学参考答案

一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

C

A

B

B

D

C

C

D

C

A

A

B



二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

三．解答题（本题共6大题，共70分）

（18）解：（I） 设丙通过测试为事件A，则

…………3分

（Ⅱ）
可取值为
， …………4分

…………8分

则
的分布列为

0

1

2

3

















…………10分

所以
的期望是

. …………12分

（19）（I）证明：因为


为
中点,

所以四边形
为平行四边形.

所以
.

因为
，所以
，即
. …………2分

又因为平面
平面
，且平面
平面

，

面
，所以
平面
. …………4分

因为
平面
，所以平面
⊥平面
. …………6分

（Ⅱ）

解：因为
，
为
中点，所以
.

因为平面
平面
，且平面
平面

，

面
，所以
平面
. …………7分

故
两两垂直.

如图，以
为原点建立空间直角坐标系
.

则
，
，
，
，
.

易知平面
的法向量为
…………8分

是棱
上的点，设
，
,且
，则

.

又
，

所以平面
的法向量为
. ……………9分

因为二面角
为
，

所以
，解得
. ……………10分

所以

，
. ……………12分

(20)解:(I)由题意知，椭圆的右顶点为
，
.因为椭圆的离心率为
,所以
，所以
，计算得
.故椭圆
的方程为
.……………4分

(II)因为直线
过点
且三点
能构成三角形，故可设直线
的方程为
.

联立
，整理得
. ……………6分

显然
.，

设
，
，由韦达定理得
,
.

于是有
. ……………7分

所以
.

令
设
，

时，
，所以
在
上为增函数.

所以
. …………10分

所以
,当且仅当
即
时取等号,

所以
的最大值为
. ……………12分

（21）解:(I)解：
时，
，
的定义域为
.

……………1分

当
时，
；当
时，
． ……………3分

所以
在
上单调递增，在
上单调递减. ……………4分

(Ⅱ)证明：构造函数
，其中
，

……………6分

则
，

因为
，所以
，所以
，

函数
在
上为减函数. ……………8分

因为
，所以
（
在
处有意义且连续）.

于是
.

又
所以
. ……………10分

由（I）知，
在
上为减函数，于是有
，即
.

……………12分

（22）（I）证明：如图，连接
，则
，且
为等腰三角形，

则
.

因为
，

所以
所以
. ……………3分

根据切割线定理，有
，所以
. ……………5分

(II) 解：因为
所以
.

在
中，
，所以
.……………6分

所以
，所以
是等边三角形,

所以
. ……………8分

在
中，
，所以
. ……………10分

(23) 解：（I）将点
化为直角坐标，得
， ……………2分

直线
的普通方程为
， ……………3分

因为
， ……………4分

所以点坐标不满足直线
的方程，

所以点不在直线
上． ……………5分

（II）法1：

因为点
在曲线
上，故可设点
， ……………6分

点
到直线
的距离为

， ……………8分

所以当
时，
，当
时，
．

故点
到直线
的距离的最小值为
，最大值为
． ……………10分

法2：

曲线
的普通方程为
，

它是以
为圆心，为半径的圆. ……………6分

圆心
到直线
的距离为
，……………8分

，

故点
到直线
的距离的最小值为
，最大值为
． ……………10分

（24）解（I）
……………3分

时，
，解得
；

时，
，解得
.

所以原不等式的解集为
. ……………5分

（II）由题意知，需且只需大于
的最小值，

而
, ……………8分

故
，

所以，的取值范围是
. ……………10分