2015年高三校际联合检测理科数学

2015.05

本试卷分第I卷和第Ⅱ卷两部分，共5页．满分150分。考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：

1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。

2．第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。

4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第I卷(共50分)

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.复数
（i是虚数单位）的共轭复数
表示的点在

A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

2.已知集合

A.
B.
C.
D.

3.采用系统抽样方法从1000人中抽取50人做问卷调查，为此将他们随机编号1，，…，1000，适当分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8，抽到的50人中，编号落入区间
的人做问卷A，编号落入区间
的人做问卷B，其余的人做问卷C，则抽到的人中，做问卷C的人数为

A.12 B.13 C.14 D.15

4.函数
（e是自然对数的底数）的部分图象大致是

5.下列说法不正确的是

A.若“p且q”为假，则p，q至少有一个是假命题

B.命题“
”的否定是“
”

C.“
”是“
为偶函数”的充要条件

D.当
时，幂函数
上单调递减

6.执行如图所示的程序框图，输出的T=

A.29 B.44 C.52 D.62

7.将函数
的图象上各点的纵坐标不变，横坐标扩大到原来的2倍，所得图象的一条对称轴方程可以是

A.
B.

C.
D.

8.变量
满足线性约束条件
目标函数
仅在点
取得最小值，则k的取值范围是

A.
B.
C.
D.

9.函数
的图象上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则以下不可能成为该等比数列公比的是

A.
B.
C.
D.

10.在
上的函数
满足：①
（c为正常数）；②当
时，
图象上所有极大值对应的点均落在同一条直线上.则c=

A.1或
B.
C.1或3 D.1或2

第II卷（共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.

11.如果双曲线
的一条渐近线与直线
平行，则双曲线的离心率为_____.

12.已知
的展开式中
的系数与
的展开式中
的系数相等，则
_____.

13.若某几何体的三视图如右图所示，则此几何体的体积是______.

14.在平面直角坐标系
中，设直线
与圆
交于A,B两点，O为坐标原点，若圆上一点C满足
______.

15.函数
图象上不同两点
处的切线的斜率分别是
，规定
（
为线段AB的长度）叫做曲线
在点A与点B之间的“弯曲度”，给出以下命题：

①函数
图象上两点A与B的横坐标分别为1和2，则
；

②存在这样的函数，图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数；

③设点A,B是抛物线
上不同的两点，则
；

④设曲线
（e是自然对数的底数）上不同两点
，若
恒成立，则实数t的取值范围是
.

其中真命题的序号为________.（将所有真命题的序号都填上）

三、解答题：本大题共6小题，共75分.

16.（本小题满分12分）

在
中，已知
.

（I）求sinA与角B的值；

（II）若角A,B,C的对边分别为
的值.

17. （本小题满分12分）

直三棱柱
中，
，E，F分别是
的中点，
为棱
上的点.

（I）证明：
；

（II）已知存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为
，请说明点D的位置.

18. （本小题满分12分）

甲、乙两袋中各装有大小相同的小球9个，其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为2，3，4，乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3，某人用左右手分别从甲、乙两袋中取球.

（I）若左右手各取一球，求两只手中所取的球颜色不同的概率；

（II）若左右手依次各取两球，称同一手中 两球颜色相同的取法为成功取法，记两次取球（左右手依次各取两球为两次取球）的成功取法次数为随机变量X，求X的分布列和数学期望.

19. （本小题满分12分）

已知数列
的前项和为
.

（I）求数列
的通项公式；

（II）设集合
，等差数列
的任一项
，其中
是
中的最小数，
，求数列
的通项公式.

20. （本小题满分13分）

已知抛物线
的焦点为
，过点F作直线l交抛物线C于A,B两点.椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，点F是它的一个顶点，且其离心率
.

（I）分别求抛物线C和椭圆E的方程；

（II）经过A,B两点分别作抛物线C的切线
，切线
相交于点M.证明
；

（III）椭圆E上是否存在一点
，经过点
作抛物线C的两条切线
（
为切点），使得直线
过点F？若存在，求出抛物线C与切线
所围成图形的面积；若不存在，试说明理由.

21. （本小题满分14分）

已知函数
.

（I）求函数
的单调递减区间；

（II）若关于x的不等式
恒成立，求整数a的最小值；

（III）若正实数
满足
，证明
.

2015年高三校际联合检测理科数学参考答案

一．选择题 CBACC,ADCDD

（1）【答案】C，解：分母实数化乘以它的共扼复数1+i,
,
的共扼复数为
，它表示的点为
在第三象限.

（2）【答案】B.解:
.

（3） 【答案】 A，解:若采用系统抽样方法从
人中抽取
人做问卷调查，则需要分为
组，每组
人，若第一组抽到的号码为
，则以后每组抽取的号码分别为
，
，
，
，
，……，所以编号落入区间
的有
人，编号落入区间
的有
人，所以做问卷
的有
人．

（4）【答案】 C，解:函数
为偶函数，排除A,B；
，排除D,选C.

（5）【答案】 C解：A．若“p且q”为假，则p、q至少有一个是假命题，正确；

B．命题“
，
”的否定是“
，
”，正确；

C．“
”是“
为偶函数”的充分不必要条件，故C错误；

D．
时，幂函数
在
上单调递减，正确．

故选：C

（6）【答案】 A，解：执行程序框图，有S=3，n=1，T=2，

不满足条件T＞2S，S=6，n=2，T=8，

不满足条件T＞2S，S=9，n=3，T=17，

不满足条件T＞2S，S=12，n=4，T=29，

满足条件T＞2S，退出循环，输出T的值为29．故选：A．

（7）【答案】 D，解：将函数
的图象上各点的纵坐标不变，横坐标扩大到原来的倍得函数
,其对称轴方程为

， 故选D.

（8）【答案】C，解:作出不等式对应的平面区域， 由z=kx-y得y=kx-z，要使目标函数z=kx-y仅在点A（0，2）处

取得最小值，则阴影部分区域在直线y=kx-z的

下方，∴目标函数的斜率k满足-3＜k＜1.

（9）【答案】D，解:函数等价为
，表示为圆心在
半径为3的上半圆，圆上点到原点的最短距离为2，最大距离为8，若存在三点成等比数列，则最大的公比应有
，即
，最小的公比应满足
，所以
，所以公比的取值范围为
，所以选D.

（10）【答案】 D，解:先令
，那么
，
=
；再令
，那么
，
=
；

分别算出它们的极值点为(
)，
,
，三点共线解得
．

二、填空题

（11）
（12）
.（13）
.（14）
.（15）②③.

（11）答案
解:由题意知
，所以离心率

（12）答案
.解：由二项式定理知:
的展开式中
的系数为
，
的展开式中
的系数为
，于是有
，解得
，所以可得
，故答案为
.

（13）答案
,解:由图知此几何体为边长为2的

正方体裁去一个三棱锥（如右图），所以此几何体的体积为
.

（14）答案
.解:
，即：
，整理化简得：
，过点
作
的垂线交
于，则
，得
，又圆心到直线的距离为
，所以
，所以
，
.

（15）答案②③.解:①错：

②对：如
；

③对；
；④错；
，

因为
恒成立，故
.

（16）解：（Ⅰ）
，
，又
，
.

，且
，

.………………………………………………………………………………………6分

（Ⅱ）由正弦定理得
，
，

另由
得
，

解得
或
（舍去），

，
.………………………………………………………………………………12分

（17）（Ⅰ）证明：
，
∥
,

, 又
,
,

面
， 又
面
,

,

以为原点建立如图所示的空间直角坐标系
,

则
,
,
,
,
,

设
，
,

且
,即：
,
,

,
,

,
. ………6分

（Ⅱ）设面
的法向量为
，

则
，
，
，

， 即：
， 令