闵行区2014学年第二学期高三年级质量调研考试数 学 试 卷（理科）

（满分150分，时间120分钟）

考生注意：

1．答卷前，考生务必在答题纸上将学校、班级、准考证号、姓名等填写清楚．

2．请按照题号在答题纸各题答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．

3．本试卷共有23道试题．

一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，考生必须在答题纸的相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得0分．

1．已知集合
，
，则
．

2．若复数满足
（为虚数单位），则
．

3．函数
,若
，则
．

4．计算
．

5．设
,则
.

6．已知
，
，则
．

7. 若圆锥的侧面积为
，底面面积为，则该圆锥的体积为 .

8．已知集合
，在
中可重复的依次取出三个数
，则“以
为边长恰好构成三角形”的概率是 ．

9．已知等边
的边长为3，
是
的外接圆上的动点，则
的最大值为 ．

10．函数
取最小值时的取值范围是 ．

11．已知函数
,
,记函数
，则函数
所有零点的和为 .

12．已知
是椭圆
和双曲线
的公共焦点，是它们的一个公共点，且
，则
的最大值为 .

13．在
中，记角、、
所对边的边长分别为、
、，设
是
的面积，若
，则下列结论中：

①
； ②
；

③
； ④
是钝角三角形．

其中正确结论的序号是 ．

14．已知数列
满足：对任意
均有
（为常数，
且
），若
，则
所有可能值的集合为　 　．

二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4小题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格用铅笔涂黑，选对得5分，否则一律得0分．

15．已知圆
和直线
，则
是圆
与直线
相切的（ ）

(A)充要条件. (B)充分不必要条件.

(C)必要不充分条件. (D)既不充分也不必要条件.

16．
展开式中各项系数的和为 ( )

(A)
. (B). (C)
. (D)
.

17．已知
是定义在上的函数，下列命题正确的是 ( )

(A)若
在
上的图像是一条连续不断的曲线，且在
内有零点，则有
.

(B)若
在
上的图像是一条连续不断的曲线，且有
，则其在
内没有零点.

(C)若
在
上的图像是一条连续不断的曲线，且有
，则其在
内有零点.

(D)若
在
上的图像是一条连续不断的曲线且单调，又
成立，则其在
内有且只有一个零点.

18．数列
是公差不为零的等差数列，其前项和为
，若记数据
的方差为
，数据
的方差为
，
.则 (　 )

(A)
. (B)
. (C)
. (D)
的值与公差
的大小有关.

三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．

19．（本题满分12分）

如图，在直三棱柱
中，
，直线
与平面
所成角的大小为
．求三棱锥
的体积.

20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分．

某公司生产电饭煲，每年需投入固定成本40万元，每生产1万件还需另投入16万元的变动成本．设该公司一年内共生产电饭煲万件并全部销售完，每一万件的销售收入为
万元，且
，该公司在电饭煲的生产中所获年利润为
(万元). （注：利润销售收入成本）

(1)写出年利润
(万元)关于年产量 (万件)的函数解析式；

(2)为了让年利润
不低于2760万元，求年产量的取值范围．

21．（本题满分14分）本题共有2个小题，每小题满分各7分．

椭圆
的左右焦点分别为
，上顶点为，已知椭圆过点
，且
．

（1）求椭圆的方程；

（2）若椭圆上两点
关于点
对称，求
．

22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3) 小题满分6分．

已知函数
.

（1）求函数
的最小正周期；

（2）若存在
满足
，求实数的取值范围；

（3）对任意的
，是否存在唯一的
，使
成立，请说明理由.

23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分8分．

已知数列
为等差数列，
，其前和为
，数列
为等比数列，

且
对任意的
恒成立.

（1）求数列
、
的通项公式；

（2）是否存在
，使得
成立，若存在，求出所有满足条件

的
；若不存在，说明理由.

（3）是否存在非零整数，使不等式

对一切
都成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

闵行区2014学年第二学期高三年级质量调研考试

数学试卷参考答案与评分标准

一. 填空题 1．
； 2．
； 3．
； 4．
； 5．； 6．
； 7．
；8．
；9．
，； 10．
，； 11．
；12．
； 13． ④；

14．

二. 选择题 15． B； 16． B； 17．D； 18． A．

三. 解答题

19． [解]法一：
，

平面
，

是直线
与平面
所成的角．…………………4分

设

，

， ……………8分

所以
．…12分

法二：如图，建立空间直角坐标系，设
． 得点
，

，
． 则
，

平面
的法向量为
． …………………4分

设直线
与平面
所成的角为
，

则
，……………8分

所以
．…12分

20．[解] (1)

……6分

(2) 解
………………12分得
时， 所以
.

答：为了让年利润
不低于2760万元，年产量
. …………………14分

21．[解] (1)因为椭圆过点
,所以
,解得
……3分

又以
为直径的圆恰好过右焦点
，所以

又

得
，
，所以

而
，所以
得
………………6分

故椭圆的方程是
． ………………………………7分

（2）法一：设点
的坐标分别为
，

则
，且
………9分

由
得：

所以
所在直线的方程为
………………11分

将
代入
得

………14分

法二：设点
的坐标分别为
，………9分

则

两等式相减得
………………11分

将
代入
得

．……14分

22．[解]（1）

，……………2分

函数
的最小正周期
………………………………4分

（2）当
时，
，
6分

…………………8分

存在
满足
的实数的取值范围为
.……10分

（3）存在唯一的
，使
成立. ………………12分

当
时，
，

………………14分

设
，则
，由

得

所以
的集合为

∵

∴
在
上存在唯一的值
使
成立. 16分

23． [解] （1）法1：设数列
的公差为
，数列
的公比为。

因为

令
分别得
，
，
，又

所以
即
…………………2分

得
或

经检验
符合题意，
不合题意，舍去。

所以
. ……………………………4分

法2：因为
①

对任意的
恒成立

则
（
） ②

①②得

又
，也符合上式，所以