淄博实验中学高三年级第二学期教学诊断考试参考答案

数 学（文）

一、选择题

二、填空题

三、解答题

16.解：(Ⅰ)由题设知
.┅┅┅┅┅┅2分

又
且
，两式相加，得
.┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅5分

(Ⅱ)由条件得
┅┅┅7分

平方相加，得
.┅┅9分

当且仅当
时取等号.故
，当且仅当
时取等号.┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅12分

17.解：(Ⅰ)由题设知共有小球
个，标号为的小球个，从口袋中随机抽

取一个小球，取到标号为的小球的概率为
，解得
.┅┅┅┅4分

(Ⅱ)从口袋中不放回地随机抽取个小球，记标号为的两个小球分别为
，随机抽取两个，有
，

共12种结果.┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅8分

而满足
的有：
，

共8种不同的结果┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅10分

故
.┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅12分

18.解：(Ⅰ)连结
，取
的中点
，连结
，则
∥
.

又
∥
.┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅3分

且
为矩形，故
∥
，
，┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅4分

所以
为平行四边形，故有
∥
平面
平面
，

从而
∥平面
.┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅6分

(Ⅱ)因为平面
平面
，平面
平面
，

平面
，故
平面
.又
面
，所以
.

┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅9分

而
为圆
的直径，所以
.又
面
，所以

平面
.┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅12分

19.解：(Ⅰ)
时，取
，得

，即

成等差数列.┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅3分

(Ⅱ)
时，
.取
得
.取
，同理得

.又
，即
，

令
，则等式可化为
，解得
或

舍去).从而
或
.┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅8分

(Ⅲ)当
时，
，又
，故有

，两式相减得
.因为
，故
.10分

所以
.┅┅12分

20.解：(Ⅰ)抛物线
的焦点为
，由题设知：椭圆的焦点在轴上，

且
.又
，故

椭圆的方程为
.┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅4分

(Ⅱ)将
代入
，得
.

设
，则由韦达定理，得
，

.┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅6分

于是

┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅10分

?.┅┅┅┅┅┅┅┅┅12分

欲使?式与实数
无关，则有
，故点
的坐标为
.

┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅13分

21.解：(Ⅰ)函数的定义域为
，当
时，

.令
，得
舍去). 所以当
时，

单调递减；当
时，
单调递增；因此

函数的最小值是
.┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅4分

(Ⅱ)由题设知，
，且
恒成立.
，故

必是函数的极小值点即最小值点.所以
，此时
.┅┅┅┅┅6分

而当
时，

，当
时，
单调递减；

当
时，
单调递增.所以函数
的最小值是
即

恒成立.┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅8分

(Ⅲ)
.

证明：
.由题设得

，

┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅10分

则

.┅11分

令

，则
，

故
在
上单调递减，所以
.12分

考虑到
，从而

，即
.┅┅┅┅14分