山东省实验中学2015届高三第一次模拟考试数学（文）试题

说明：试题分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。试题答案请用2B铅笔或0．5mm签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效。考试时间120分钟。

第I卷 （共50分）

一、选择题（本题包括10小题，每小题5分，共50分。每小题只有一个选项符合题意）

1．i为虚数单位，若

A．1 B．
C．
D．2

2．已知集合
，则
为

A．（-2，3） B．

C．
D．

3．命题：“若x2<1，则-1

A．若

B．若-1

C．若x>1或x<-1，则x1>1

D．若

4．某程序框图如右图所示，现输入如下四个函数，则可以输出

的函数是

A．
B．
C．
D．

5．某个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是

A．30 B．40

C．24 D．72

6．已知x，y满足
的最小值为

A．5 B．-5

C．6 D．-6

7．函数
的最小正周期是π，若其图象向右平移
个单位后得到的函数为奇函数，则函数f（x）的图象

A．关于点
对称 B．关于直线
对称

C．关于点
对称 D．关于直线
对称

8．已知双曲线
，则一条渐近线与实轴所成角的取值范围是

9．已知
的各项排列成如下的三角形状：

10．函数f（x）的定义域为A，若x1，x2∈A且f(x1)=f(x2)时总有x1=x2，则称f(x)为单函数．则

①函数f（x）=（x-1）3是单函数：

②函数
是单函数

③若f（x）为单函数，

④若函数f（x）在定义域内某个区间D上具有单调性，则f（x）一定是单函数

以上命题正确的是

A．①④ B．②③ C．①③ D．①③④

第II卷（非选择题，共1 00分）

二、填空题（本题包括5小题，每小题5分，共25分）

11．已知a、b∈R+2a+b=2，则
的最小值为 。

12．己知P是面积为S三角形ABC内部 点，则三角形PBC的面积大于
的概率是 。

13．已知正方形ABCD边长为2，E为CD中点，F为AD中点，则

14．己知点A（-2．1）和圆C：（x- 2）2+（y- 2）2=1，一条光线从A点出发射到工轴上后沿圆的切线方向反射，则这条光线从A点到切点所经过的路程是 。

15．已知函数，f（x）是定义在R上的奇函数，它的图象关于直线x=1对称，且
。若函数
在区间[-10，10]上有10个零点（互不相同）。则实数a的取值范围是

。

三、解答题（共6个大题，75分）

16．（本小题满分l 2分）在△ABC中，角A，B，C的对边长分别是a，b，c，且满足(2b-c)cosA-acosC=0.

（I）求角A的大小：

（Ⅱ）若
，△ABC的面积
，试判断△ABC的形状，并说明理由．

17．（本小题满分12分）已知高二某班学生语文与数学的学业永平测试成绩抽样统计如下表，若抽取学生n人，成绩分为A（优秀）、B（良好）、C（及格）三个等级，设工，夕分别表示语文成绩与数学成绩，例如：表中语文成绩为B等级的共有20+18+4-42人．已知x与y均为B等级的概率是0.18.

（1）求抽取的学生人数；

（2）设该样本中，语文成绩优秀率是30%，求a，b的值；

（3）已知
，求语文成绩为A等级的总人数比语文

成绩为C等级的总人数少的概率。

18．（本小题满分12分）

如图在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且
，设E、F分别为PC，BD的中点。

（1）求证：EF//平面PAD；

（2）求证：面PAB⊥平面PDC。

19．（本小题满分1 2分）己知数列
是各项均为正数的等差数列，其中a1=1，且a2，a4，a6+2构成等比数列：数列{bn}的前n项和为Sn，满足2Sn+bn=1．

（1）求数列
的通项公式；

（II）如果
，设数列
的前胛项和为Tn，是否存在正整数n，使得Tn>Sn成立，若存在，求出n的最小值，若不存在，说明理由．

20．（本小题满分l3分）己知函数f（x）=ex—x—1

（I）求函数y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程：

（II）若方程f（x）=a，在[-2，ln 2]上有唯一零点，求实数a的取值范围；

（III）对任意
恒成立，求实数t的取值范闱．

21．（本小题满分1 4分）已知椭圆
的一个焦点与抛物线y2=
x的焦点F重合，且椭圆短轴的两个端点与F构成正三角形．

（I）求椭圆的方程：

（II）若过点（1，0）的直线l与椭圆交于不同两点P、Q，试问在x轴上是否存在定点 E（m，0），使
恒为定值？若存在，求出E的坐标及定值；若不存在，请说明理由。

山东省实验中学2015届高三第一次模拟考试

数学(文)参考答案与评分标准 (2015．4)

1-10： ACDDB DDCDC

11. 4 12.
13.0 14. 2
15.

16.解：（Ⅰ）(方法一)∵

∴

∴
， (4分)

∴
∴
∴
. ……………… (6分)

(方法二)∵

∴
，………………　(2分)

∴
，即
.　………………(4分)

∴
.又
,∴
.……………… (6分)

（Ⅱ）∵
，∴
，∴
.………………(8分)

∵
，∴
.

∴
. ………………(10分)

又
，∴△
是等边三角形. ………………(12分)

17.解：

由题意可知，
，得
，故抽取的学生人数是100. .....................2分

由（1）知，
，
..................3分

........................4分

设“语文成绩为A等级的总人数比语文成绩为C等级的总人数少”为事件A,由（2）知，

，满足条件的
有，（10,21），（11，20），（12,19），（13,18），（14,17），（15,16），（16,15），（17,14），（18,13），（19,12），（20,11），(21,10)（22,9），（23,8），共14种...........................................................................................................................8分

其中
的有3种................................................................................10分

所以
............................................................................. 12分

18.(Ⅰ)证明：
为平行四边形,连结
，为
中点，

为
中点∴在
中
//
．．．．．．．．．．．．．．．．．..2分

且
平面
，
平面
．．．．．．．．．．．．．．．．．4分

∴
．．．．．．．．．．．．．．．．．5分

(Ⅱ)证明：因为面
面
　平面

面

　

为正方形，
，
平面
，所以
平面

　∴
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分

又
，所以
是等腰直角三角形，

且
即
．．．．．．．．．．．．．．．9分

　
，且
、
面
　　

面
， ．．．．．．．．．．．． ．．．．．．．．．．．．．10分．

又
面
　　所以面
面
．．．．．．．12分

19.（1）设数列
的公差为
，依条件有
，

即
，解得
（舍）或
，

所以
...........................................................................2分

由
，得
，

当
时，
，解得
，...........................................................................3分

当
时，
，

所以
，................................................................4分

所以数列
是首项为
，公比为
的等比数列，

故
. ................................................................5分

（2）由（1）知，
，..................................................... 6分

所以
①

②

得
. .............. 9分

又
............ ........... 10分

所以
，

当
时，
，

当
时，
，所以
，

故所求的正整数存在，其最小值是2. . ........... 12分

20..解：（1）
.…………………………………………………1分

，
.

化简得所求切线的方程为
.…………………………………3分

（2）
,

当
时，
，
单调递减；

当
时，
，
单调递增.………………………………5分

，
.………………………………………………6分

因为
.

函数
，在
上有唯一零点，等价于，

或
,即
或
.

所以实数的取值范围是
或
.…………………………8分

（3）令
,则
.

因为
，
.…………………………………………………………9分

（i）当
时，
，
在区间
上是增函数，所以
.

即
恒成立.…………………………………………………………11分

（ii）当
时,
，

当
时,
，
单调递减，

当
时，
，此时不满足题设条件.…………………12分

综上所述：实数t的取值范围是
.………………………………………………13分

21.解：（Ⅰ）由题意知抛物线的焦点

……………………………………………………………………………1分

又椭圆的短轴的两个端点与构成正三角形

椭圆的方程为
……………………………………………………4分

（Ⅱ）当直线
的斜率不存在时，
由
可得

……………………………6分

当直线
的斜率存在时，设其斜率为
，则
的方程为：

………………………………………8分

则

……………………………………10分

当
即
时
为定值
…………………………13分

综上所述当
时，
为定值
……………………………………14分