河西区2014—2015学年度第二学期高三年级总复习质量调查（二）

数 学 试 卷（文史类）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页。

答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、准考号填写密封线内相应位置。

祝各位考生考试顺利！

第Ⅰ卷

注意事项：

1．每小题选出答案后，将答案填在题后的括号内。

3．本卷共8小题，每小题5分，共40分。

参考公式：

·如果事件，互斥，那么

·如果事件，相互独立，那么

·柱体的体积公式

·锥体的体积公式

其中表示柱（锥）体的底面面积

表示柱（锥）体的高





一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

（1）为正实数，是虚数单位，
，则
（ ）

(A)

(B)

(C)

(D)



（2）设变量，满足约束条件
，则目标函数
的最小值为（ ）

(A)

(B)

(C)

(D)



（3）某程序框图如右图所示,若该程序运行后输出的值是
,则（ ） （　　）

(A)
(B)

(C)
(D)

（4）函数
的零点个数为( )

(A) (B)

(C) (D)

已知双曲线

的两条渐近线与抛物线

的准线分别交于,两点,为坐标原点. 若双曲线的离心率为,
的面积为
, 则的值为( )

(A) (B)
(C) (D)

（6）函数

的部分图象如图所示,则
的值分别是（ ）

(A)
(B)

(C)
(D)

（7）下列四个命题中

:
，
；
:
，
；

:
，
；
:
，
.

其中真命题是( )

(A)
，

(B)
，

(C)
，

(D)
，



设函数
满足
，
，则
时
( )

(A) 有极大值,无极小值 (B) 有极小值,无极大值

(C) 既有极大值又有极小值 (D) 既无极大值也无极小值

河西区2014—2015学年度第二学期高三年级总复习质量调查（二）

数 学 试 卷（文史类）

第Ⅱ卷

注意事项：

1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在试卷上。

2．本卷共12小题，共110分。

二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．

（9）某校从高一年级学生中随机抽取部分学生,将他们的模块测试成绩分为6组:[40,50), [50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100)加以统计,得到如右图所示的频率分布直方图,已知高一年级共有学生600名,据此估计,该模块测试成绩不少于60分的学生人数为 .

一空间几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体

积为 .

关于的不等式
(
)的解集

为
,且
,则
__________. （　　）

（12）如图,
是圆
的直径,点
在圆
上,延长

到使
,过
作圆
的切线交
于.

若
,
,则
_________.

（13）已知向量
与
的夹角为
，且
，
，若
,且
,则实数
的值为________.

（14）已知
，
，若同时满足条件：

①
，
或
；②
,
，则的取值范围是 .

三.解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

（15）（本小题满分13分）

若某公司从七位大学毕业生, ,
, , , ,
,中录用两人,这七人被录用的机会

均等.

（Ⅰ）用题中字母列举出所有可能的结果；

（Ⅱ）设事件
为“或被录用”求事件
发生的概率.

（16）（本小题满分13分）

设
的内角
的对边分别为
,
.

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）若
,求
.

（17）（本小题满分13分）

如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中点，点P，Q分别在棱DD1，BB1上移动，且DP＝BQ＝λ(0<λ<2)．

（Ⅰ）当λ＝1时，证明：直线BC1∥平面EFPQ；

（Ⅱ）是否存在λ，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．

（18）（本小题满分13分）

已知点
，椭圆：

的离心率为
，是椭圆的右焦点，直线
的斜率为
，
为坐标原点．

（Ⅰ）求的方程；

（Ⅱ）设过点的动直线
与相交于，
两点，当
的面积最大时，求
的方程．

（19）（本小题满分14分）

已知函数
（
为常数，
是自然对数的底数），曲线
在点
处的切线与轴平行．

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）求
的单调区间；

（Ⅲ）设
，其中
是
的导函数．证明：对任意
，

．

（20）（本小题满分14分）

设数列
的前项和为
.已知
,
,
.

(Ⅰ) 求
的值;

(Ⅱ) 求数列
的通项公式;

(Ⅲ) 证明:对一切正整数,有
.

河西区2014—2015学年度第二学期高三年级总复习质量调查（二）

数学试卷（文史类）参考答案及评分标准

一、选择题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分40分.

(1)B

(2) D

(3) A

(4)B



(5) C

(6) A

(7) D

(8)D



二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分30分.

（9）

（10）

（11）



（12）

（13）

（14）



三、解答题：本大题共6小题，共80分.

（15）（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：从七位大学毕业生中录用两人所有可能结果为

,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,共21种. …………7分

（Ⅱ）解：或被录用的所有可能结果为

,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,共11种.

因此事件
发生的概率
.…………13分

（16）（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：因为
,

所以
.

由余弦定理得,
,

因此,
. …………6分

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知
,所以

,

故
或
,

因此,
或
. …………13分

（17）（本小题满分13分）

方法一：

（Ⅰ）证明：如图①，连接AD1，由ABCD-A1B1C1D1是正方体，知BC1∥AD1.

当λ＝1时，P是DD1的中点，又F是AD的中点，所以FP∥AD1，所以BC1∥FP.

而FP?平面EFPQ，且BC1?平面EFPQ，故直线BC1∥平面EFPQ. ………5分

图①　　　　　　　　　图②　　　

（Ⅱ）如图②，连接BD.因为E，F分别是AB，AD的中点，所以EF∥BD，且EF＝BD.又DP＝BQ，DP∥BQ，所以四边形PQBD是平行四边形，故PQ∥BD，且PQ＝BD，从而EF∥PQ，且EF＝PQ.

在Rt△EBQ和Rt△FDP中，因为BQ＝DP＝λ，BE＝DF＝1，

于是EQ＝FP＝
，所以四边形EFPQ也是等腰梯形．

同理可证四边形PQMN也是等腰梯形．

分别取EF，PQ，MN的中点为H，O，G，连接OH，OG，

则GO⊥PQ，HO⊥PQ，而GO∩HO＝O，

故∠GOH是面EFPQ与面PQMN所成的二面角的平面角．

若存在λ，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角，则∠GOH＝90°.

连接EM，FN，则由EF∥MN，且EF＝MN知四边形EFNM是平行四边形．

连接GH，因为H，G是EF，MN的中点，所以GH＝ME＝2.

在△GOH中，GH2＝4，OH2＝1＋λ2－
＝λ2＋，

OG2＝1＋(2－λ)2－
＝(2－λ)2＋，

由OG2＋OH2＝GH2，得(2－λ)2＋＋λ2＋＝4，解得λ＝
，

故存在λ＝
，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角．……13分

方法二：

以D为原点，射线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴的正半轴建立如图③所示的空间直角坐标系．由已知得B(2，2，0)，C1(0，2，2)，E(2，1，0)，F(1，0，0)，P(0，0，λ)．

图③　　　　

＝(－2，0，2)，FP＝(－1，0，λ)，FE＝(1，1，0)．…………2分

（Ⅰ）证明：当λ＝1时，FP＝(－1，0，1)，

因为＝(－2，0，2)，

所以＝2，即BC1∥FP.

而FP?平面EFPQ，且BC1?平面EFPQ，故直线BC1∥平面EFPQ. ………6分

（Ⅱ）设平面EFPQ的一个法向量为n＝(x，y，z)，则由可得

于是可取n＝(λ，－λ，1)．

同理可得平面MNPQ的一个法向量为m＝(λ－2，2－λ，1)．

若存在λ，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角，

则m·n＝(λ－2，2－λ，1)·(λ，－λ，1)＝0，

即λ(λ－2)－λ(2－λ)＋1＝0，解得λ＝
.

故存在λ＝
，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角．………13分

（18）（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：设
，由条件知，
，得
.

又
，所以
，
.

故的方程为
.…………5分

（Ⅱ）解：当
轴时不合题意，

故可设
：
，
，
．

将
代入
得
，

当
，即
，

x1，2＝，

从而|PQ|＝
|x1－x2|

＝.

又点O到直线l的距离d＝
.

所以△OPQ的面积

S△OPQ＝d·|PQ|＝
.

设
，则t>0，S△OPQ＝＝.

因为t＋≥4，当且仅当t＝2，即k＝
时等号成立，满足Δ>0，

所以，当△OPQ的面积最大时，k＝