天津市五区县2015年高三质量调查试卷（二）

数学（理科）参考答案及评分标准

一、选择题:

1~4 ACBD 5~8 ABCD

二、填空题:

9.
10.
11.
12. 13.
14.

三、解答题:

15.（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）由图像可知
………………1分

周期
，所以
，………………3分

，又
，则
………………5分

所以
………………6分

（Ⅱ）因为
，所以
，又
，

则
， ………………7分

得
………………9分

所以

=
………………12分

16.（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）设趣味数学讲座在星期二、星期四都不满座为事件，则
. …………4分

（Ⅱ）由题意可知
的所有取值为：0,1,2,3,4. ………………………5分

，

，

，
；

………………………………10分

所以
的分布列为

0

1

2

3

4



P













…………………11分

故
的期望为
.…………………13分

17.（本小题满分13分）

解：（I）因为

所以
，
，

取
中点
,连接
则
，

因为平面
平面
，
平面

所以
，所以

因为
，

所以
平面
. ……………4分

（II）分别以
为轴，轴，轴建立如图所示直角坐标系，则
，
，
，
，
，
，
.

设平面
的法向量为
，所以
，即
，

令
，所以
；

平面
的法向量为
，所以
，故二面角
的余弦值为
. ……………8分

（III）由点在棱
上，设
，

故

，

由
得
，即
，解得
，

所以
， ……………10分

，

平面
的法向量是
， ……………11分

设直线
与平面
所成的角为
，

所以
.…………………13分

18．（本小题满分13分）

解：（I）圆的方程为
，

圆心到直线
的距离
，

又
，即
，结合
得
，

椭圆
的方程为
， ……………4分

（II）由
，可设
，其中
，已知条件
可表示为
，而
，则
，

整理得
（其中

）. ……………8分

（i）当
时，点
的轨迹方程为
，即
（
），轨迹是两条平行于x轴的线段； ……………10分

（ii）当
时，点
的轨迹方程为
，因为
，所以轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆满足
的部分. ……………13分

19．（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）设数列
的公比为.因为
成等差数列，所以
，…………2分

即
，解得
，所以
. ………………………………4分

（Ⅱ）因为
，

所以，当
时，
； ……………………………………………5分

当
时，
，所以
. ………………………7分

即
…………………………………………8分

所以，当
时，
，所以
，不满足
； ……9分

当
时，
，

所以
，

所以
，

所以
. ………………………………………………………12分

要使
，只需
，解得
，所以满足
的的最小值为5. ……………………………………14分

20．（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）由
得
.

因为函数
在点
处的切线垂直于轴，

所以
,所以
. ……………………2分

又因为
，所以
. ……………………4分

（Ⅱ）(ⅰ)因为函数
两个极值点
，所以
有两个不等正根，

所以
有两个不等正根. ……………………5分

令
，因为
，所以
所以
.

即实数的取值范围是
. ……………………8分

（ⅱ）由(ⅰ)知
，
，
，所以

. ……………………10分

令
，则
.

所以函数
单调递减，
，所以
.

所以
. ……………………13分

又因为
，所以
.

即
. ……………………14分