宜宾县高中2012级高考适应性考试（一）数 学（理工类）

本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），共4页。考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效。满分150分。考试时间120分钟。考试结束后，将本试题卷和答题卡上一并交回。

第Ⅰ卷 （选择题 共50分）

注意事项：

必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1.已知
（i是虚数单位），那么复数z对应的点位于复平面内的

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

2．已知集合A＝{x∈R||x－1|<2}，Z为整数集，则集合A∩Z中所有元素的和等于

A.2 B.3 C.4 D.5

3．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c(a，b，c∈(0,1))，已知他投篮一次得分的数学期望为1(不计其他得分的情况)，则ab的最大值为

A. B. C. D.

4.如图，在等腰直角△ABO中，OA＝OB＝1，C为AB上靠近点A的四等分点，过C作AB的垂线
，P为垂线上任一点，则
等于

A．－ B.

C．－ D.

5.若动点A，B分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为

A．3 B．2 C．3 D．4

6.已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中圆的直径

为4，该几何体的体积为

A.
B.
C.
D.

7．用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在“田”字形的4个小方格内，每格涂一种颜色，相邻两格(有公共变边)涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，则所有涂色方法的种数为

A.120 B.240 C.260 D.360

8．设f(x)是
展开式的中间项，若f(x)≤mx在区间上恒成立，则实数m的取值范围是

A．(－∞，5) B．(－∞，5]

C．(5，＋∞) D．[5，＋∞)

9.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，AA1＝2，AC＝BC＝1，则

异面直线A1B与AC所成角的余弦值是

A. B. C. D.

10．设函数y＝f(x)在(0，＋∞)内有定义，对于给定的正数K，定义函数fK(x)＝若函数f(x)＝，且恒有fK(x)＝f(x)，则

A．K的最大值为 B．K的最小值为 C．K的最大值为2 D．K的最小值为2

第二部分 （非选择题 共100分）

注意事项：

必须使用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答。作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚。答在试题卷上无效。

二 、填空题

11.若

的图像关于轴对称，则
。

12．已知t是正实数，如果不等式组表示的区域内存在一个半径为1的圆，则t的最小值为________。

13.f(x)＝2sin πx－x＋1的零点个数为 。

14．已知命题p：实数m满足
，命题q：实数m满足方程＋＝1表示的焦点在y轴上的椭圆，且p是q的充分不必要条件，则的取值范围为________。

15．设f(x)＝－x3＋x2＋2ax.若f(x)在(，＋∞)上存在单调递增区间，则a的取值范围为________。

三、解答题

16. （
分）

袋子中装有大小相同的白球和红球共
个，从袋子中任取个球都是白球的概率为
，每个球被取到的机会均等. 现从袋子中每次取个球，如果取出的是白球则不再放回，设在取得红球之前已取出的白球个数为
.

（1）求袋子中白球的个数；（5分）

（2）求
的分布列和数学期望。（7分）

17. (12分)

数列
的各项均为正数，
为其前项和，对于任意
，总有
成等差数列。

(1) 求数列
的通项公式；（6分）

(2) 设
,数列
的前项和为
,求证:
。（6分）

18. (12分)

如图，四棱锥
中，底面
为矩形，

平面
，为
的中点。

（1）证明:
平面
；（4分）

（2）设
,
,求点到平面
的距离。（4分）

(3)求二面角
的余弦值。（4）

19.（12分）

在锐角
中，

（1）求角；（5分） （2）若
，求
的取值范围。（7分）

20.（13分）

已知椭圆C:
的焦点是
、
，且由椭圆上顶点、右焦点和原点组成的三角形面积为
。

（1）求椭圆C的方程；（5分）

（2）设
,
、
是椭圆C上关于轴对称的任意两个不同的点，连接
交椭圆C于另一点E,证明：直线
与轴相交于定点。（8分）

21（14分）

设函数

，曲线
过点
，且在点
处的切线方程为
。

（1）求，
的值；（3分）

（2）证明：当
时，
；（5分）

（3）若当
时，
恒成立，求实数的取值范围。（6分）

宜宾县高中2012级高考适应性考试（一）

数 学（理工类）答案

1. C 2. B 3.B 4.A 5. A 6.C 7. C　8.D 9.B

10.B

解析　由于f(x)＝，所以f′(x)＝，

令g(x)＝－ln x－1，则g′(x)＝－x－2－<0，

所以g(x)在(0，＋∞)上单调递减，而g(1)＝0，

所以当x∈(0,1)时，g(x)>0，此时f′(x)>0，

当x∈(1，＋∞)时，g(x)<0，此时f′(x)<0，

所以f(x)在(0,1)上单调递增，f(x)在(1，＋∞)上单调递减，

故f(x)max＝f(1)＝，又函数f(x)＝，且恒有fK(x)＝f(x)，结合新定义可知，

K的最小值为，故选B。

11.
12. 2＋2　 13.5　 14. 

15.　(－，＋∞)

16.(1)解：设袋子中有
N
个白球，依题意得，

即
， 化简得，
，

解得，
或
（舍去）.

∴袋子中有
个白球. 5分

解：由（1）得，袋子中有个红球，
个白球.

的可能取值为
6分

，
，

，
. 10分

∴
的分布列为：

























11分

∴
. 12分

17．（本小题满分12分）

解：（1）由已知：对于
，总有
①成立 1分

∴
（n ≥ 2）② 2分

①-②得
, ∴
∵
均为正数，∴
（n≥2） 4分

∴数列
是公差为1的等差数列.

又n=1时，
， 解得
=1, ∴
.(
) 6分

(2) 解法一：由（1）可知
,
12分

解法二：由（1）可知
,

, 9分

. 12分

18.（1）连结BD交AC与点O，连结EO

∵底面ABCD为矩形 ∴O为BD的中点

又∵E为PD的中点 ∴OE为△PBD的中位线，

则OE∥PB

又
，

∴PB∥平面AEC 4分

（2）∵PB∥平面AEC

∴P到平面AEC与B到平面AEC的距离相等

∴VP-AEC=VB-AEC=VE-ABC

又S△ABC=
,且E到平面ABC的距离为

AC=2，EC=
，AE=1， ∴S△AEC=

设P到平面AEC的距离为
，

则
，可得
=

∴P到平面AEC的距离为
8分

（3）过坐

垂足为
，过
作
，垂足为
，连接
。

易证
为二面角
的平面角。

的边
上的高为
，
，

，
，

，

所以二面角
的余弦值为
。 12分

19.（1）由

且

5分

（2）

又

12分

20.解：（1）设椭圆：
的上顶点、右顶点和原点分别为
，半焦距为
，
，

所以所求椭圆的方程为
5分

（2）设
、
、
,直线
的方程为
，则

由
得：
7分

8分
9分

12分

所以直线
与轴相交于定点
13分

21.解：(1)
，

，

，
． 3分

(2)
，

设
，
，

，
在
上单调递增，

，
在
上单调递增，
．

． 8分

（3）设
，

，

在(2) 中知
，
，

， 11分

①当
即
时，
，
在
单调递增，
，成立．

②当
即
时，
，

，令
，得
，

当
时，
，
在
上单调递减
，不成立．

综上，
． 14分