2015年天津市十二区县重点学校高三毕业班联考（二）数 学(理)

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟．

祝各位考生考试顺利！

第Ⅰ卷 选择题 (共40分)

注意事项：

1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上．

2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．

参考公式：

·如果事件、互斥，那么

柱体的体积公式
. 其中表示柱体的底面积,表示柱体的高.

锥体的体积公式
. 其中表示锥体的底面积,表示锥体的高.

一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．己知
．其中为虚数单位，则
（ ）

A.-1 B. 1 C. 2 D．3

2．已知实数，满足
，则
的取值范围是（ ）

A.
B.
C.
D.

3．若如下框图所给的程序运行结果为
，那么判断框中应填入的关于
的条件可以是( )

A．
B．
C．
D．

4．设
为公差不为零的等差数列
的前项和，若
，则
（ ）

A．15 B．17 C．19 D．21

5．已知点的极坐标是
，则过点P且垂直于极轴的直线的极坐标方程是（ ）

A．
B．
C．
D．

6．下列四个命题：

①“
（
）”成立的充要条件是“
”；

②命题“若
”的逆否命题是“若
，则
”；

③设
是任意两个向量，则“
”是“
”的充分不必要条件；

④把函数

的图像上所有的点向右平移
个单位即可得到函数

的图像．

其中正确命题的个数是 （ ）

A．0 B．1 C．2 D．4

7．已知双曲线

两个焦点为分别为
，过点
的直线
与该双曲线的右支交于
两点，且
是等边三角形，则以点
为圆心，与双曲线
的渐近线相切的圆的方程为 （ ）

A．
B．

C．
D．

8．设
，满足
, 则
（ 　）

A．0 B．2 C．4 D．6

第Ⅱ卷 非选择题 (共110分)

二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡中相应的横线上.

9．设集合
，
，则集合
中的所有元素之积等于_______；

10.已知
的展开式的二项式系

数之和为
，则其展开式中常数项等于_____；

11．由曲线

为参数）和

围成的封闭图形的面积等于_________；

12．已知某三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球体积为________;

13．如图，
是圆
的一条弦，延长
至点，

使得
，过作圆
的切线，为切点，

的平分线
交
于点，
，

则
的长为_________；

14．在
中，已知

,为线段
上的点，且
，

则
的最小值为__________.

三.解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分13分）函数
的部分图象如图所示.

（Ⅰ）写出及图中
的值；

（Ⅱ）设
，求函数
在区间
上的最大值和最小值.

16.（本小题满分13分）某次知识竞赛规则如下:在主办方预设的固定顺序的5个问题中，选手若能正确回答出三个问题，即停止答题，晋级下一轮；否则不能晋级。假设某选手正确回答每个问题的概率都是
，且每个问题回答的正确与否都相互独立.

（Ⅰ）求该选手连续答对三道题晋级下一轮的概率；

（Ⅱ）记该选手在本轮中答对问题的个数为随机变量
，求随机变量
的分布列和期望.

17.（本小题满分13分）如(图1)，直角梯形
中，
，
，
，点为线段
的中点，且
，沿
将面
折起，使平面
平面
，如(图2).

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）求平面
与平面
所成的锐二面角的余弦值;

（Ⅲ）在棱
上是否存在一点
,使直线
与平面
所成角的正弦值为
,若存在求出点
的一个坐标,否则说明理由.

18．（本小题满分13分）已知椭圆
的右焦点是
，左右顶点分别为
，上下顶点分别是
，且点
满足
，

（Ⅰ）求椭圆的离心率，并证明
三点共线；

（Ⅱ）对于给定的椭圆，若点
，过点的直线
与椭圆相交于另一点
，当
的面积最大等于9，求直线
的方程.

19．（本小题满分14分）已知A(
,
)，B(
,
)是函数
的图象上的任意两点（可以重合），点M在直线
上，且
.　　（Ⅰ）求
的值及
的值　　（Ⅱ）已知
，当
时，

+
+
+
，求
；　　（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设
=
，
为数列{
}的前项和，若存在正整数、，使得不等式
成立，求和的值.

20．（本小题满分14分）已知函数

（Ⅰ）当
时，求函数
在点
处的切线方程；

（Ⅱ）若
在区间
的有零点，求正数的取值范围；

（Ⅲ）求证不等式
对任意的正整数都成立 (其中是自然对数的底数)．

2015年天津市十二区县重点学校高三毕业班联考（二）

数学理科参考答案

一、选择题:每小题5分，满分40分

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

B

D

D

A

D

C

A

B



二、填空题: 每小题5分，共30分.

9．； 10．
； 11．
； 12．
； 13．
； 14．

三.解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分13分）函数

的部分图象如图所示.

（Ⅰ）写出及图中
的值；

（Ⅱ）设
，求函数
在区间
上的最大值和最小值.

15．（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）由图得
,所以
, ………1分

因为
,故
………………2分

由于
的最小正周期等于2, 所以由图可
………………3分

故
………………4分

由
得,

因此
得
. ………………5分

（Ⅱ）由题意可得：
.

………………7分

所以

………………8分

……9分

. ………………10分

法一: 函数
在区间
单调递增, 在区间
单调递减……………12分

又
,

故函数
在区间
上的最大值是
,最小值是
………………13分

法二: 因为
，所以
.

所以
,, ………………11分

故
，即
时，
取得最大值
； ………………12分

当
，即
时，
取得最小值
. ………………13分

16.（本小题满分13分）某次知识竞赛规则如下:在主办方预设的固定顺序的5个问题中，选手若能正确回答出三个问题，即停止答题，晋级下一轮；否则不能晋级。假设某选手正确回答每个问题的概率都是
，且每个问题回答的正确与否都相互独立.

（Ⅰ）求该选手连续答对三道题晋级下一轮的概率；

（Ⅱ）记该选手在本轮中答对问题的个数为随机变量
，求随机变量
的分布列和期望.

16. （本小题满分13分）

解：（Ⅰ）设“该选手是连续答对三道题晋级下一轮”的事件为A, ………………1分

则
………………5分

（Ⅱ）随机变量
的可能取值为0，1，2，3. ……………6分

（或
）（每个一分）…10分

随机变量
的分布列为

0

1

2

3















 ……………11分

随机变量
的期望
（个）……13分

17.（本小题满分13分）如(图1)，直角梯形
中，
，
，
，点为线段
的中点，且
，沿
将面
折起，使平面
平面
，如(图2).

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）求平面
与平面
所成的锐二面角的余弦值;

（Ⅲ）在棱
上是否存在一点
,