怀化市中小学课程改革教育质量监测试卷2015年高三第二次模考

理科数学

命题人：怀铁一中 丁亚玲 审题人：王 杏、刘 华、蒋晖林、张理科

试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分. 时量：120分钟.

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共计50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确答案的代号填在答题卡上.

1．设集合
，
，则集合
等于

A．
B．

C．
D．

2．复数
（其中为虚数单位）的虚部等于

A．
B．
C． D．

3．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的结果为

A . 7 B. 6 C . 5 D.4

4．在
中，“
”是“
是直角三角形”的

A．充分不必要条件 B．充分必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

5．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是
，

则正视图中的的值是

A.2 B.
C.
D.3

6．若数列
满足
，
，则称数列
为“梦想数列”. 已知正项数列
为“梦想数列”，且
，则
的最小值是

A．2 B．4 C．6 D．8

7．定积分
的值为

A.
B.
C. D.2

8．已知双曲线
，过其右焦点作圆
的两条切线，切点分别

记作、,双曲线的右顶点为,
，其双曲线的离心率为

A．
B．
C．
D．

9. 定义在上的函数
满足：
，
，
是
的导函数，

则不等式
（其中为自然对数的底数）的解集为

A．
B．
C．
D．

10．已知
，曲线

恒过点，若是曲线上的动点，且
的最小值为，则的值为

A.
B.
C.1 D.2

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题:本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分. 把答案填在答题卡上的相应横线上.

（一）选作题（请考生在11、12、13三题中任选2题作答，如果全做，则按前2题记分）

11.在极坐标系中，定点
，点在直线
上运动，则线段
长度的最小值为__________．

12. 如图,
、
为圆
的两条割线,若
，

，
，
，则
.

13.若不等式
的解集为，则实数的取值范围是 .

（二）必做题（14~16题）

14.某班有50名同学，一次数学考试的成绩X服从正态分布
，已

知
，估计该班学生数学成绩在115分以上的有_______ 人.

15. 已知点
满足条件
（
为常数），若
的最大值为8，则
.

16.设
是定义在上的增函数，对于任意的都有
恒成立，若实数
满足
，则
的取值范围是________.

三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．(本小题满分12分)

已知向量
，
，其中
，若函数
的最小正周期为.

（Ⅰ）求函数
的单调递增区间；

（Ⅱ）如果
的三边
所对的角分别为
，且满足
,

求
的值.

18．（本小题满分12分）

从6名男同学和4名女同学中随机选出3名同学参加一项竞技测试，每位同学通过测试的概率为0.7，试求：

（Ⅰ）选出的三位同学中至少有一名女同学的概率；

（Ⅱ）选出的三位同学中同学甲被选中并且通过测试的概率；

（Ⅲ）设选出的三位同学中男同学的人数为
，求
的概率分布列和数学期望.

19．（本小题满分12分）

如图，在斜三棱柱
中，侧面
⊥底面
，侧棱
与底面
成60°的角，
．底面
是边长为2的正三角形，其重心为
点，是线段
上一点，且
．

（Ⅰ）求证：
//侧面
；

（Ⅱ）求平面
与底面
所成

锐二面角的正切值．

20．（本小题满分12分）

已知数列
是等差数列，数列
是等比数列，
，且对任意的
，都有
．

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）若数列
的首项为3，公比为3，设
，且对任意的
，都有
成立，求实数
的取值范围．

21．(本小题满分13分)

已知抛物线：
的焦点为F，若过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于M、N两点，且|MN|=4．

（Ⅰ）求抛物线的方程；

（Ⅱ）若点P是抛物线上的动点，点B、C在y轴上，圆
内切于
，求
面积的最小值．

22．(本小题满分13分)

已知函数
．

（Ⅰ）求函数
的单调区间；

（Ⅱ）若
在
上恒成立，求实数的取值范围；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，对任意的
，求证：
．

怀化市中小学课程改革教育质量监测试卷

2015年高三二模 理科数学参考答案

一、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

C

B

D

A

C

B

A

D

A

C



二、填空题

11、
； 12、6； 13、
；

14、 8 ； 15、
； 16、
.

三、解答题

17解：（Ⅰ）因为

………………………　2分

由
的周期为得
，即
…………　4分

由
解得
，

所以
的单调增区间为
………………… 6分

（Ⅱ）由已知
及余弦定理
可知

…………………　8分

因为
， 所以
…………………　10分

所以
…………………　12分

18解：（Ⅰ）至少有一名女同学的概率为

……………　4分

（Ⅱ）同学甲被选中的概率为

则同学甲被选中且通过测试的概率为0.3×0.7=0.21 …………　8分

（Ⅲ）根据题意，
的可能取值为0、1、2、3，

，
，

所以，
的分布列为：

…………… 12分

19解法1：（Ⅰ）延长B1E交BC于点F，

∽△FEB，BE=
EC1， ∴BF=
B1C1=
BC，

从而点F为BC的中点．

∵G为△ABC的重心， ∴A、G、F三点共线． 且
，

又GE侧面AA1B1B， ∴GE//侧面AA1B1B…………… 5分

（Ⅱ）在侧面AA1B1B内，过B1作B1H⊥AB，垂足为H，

∵侧面AA1B1B⊥底面ABC， ∴B1H⊥底面ABC．

又侧棱AA1与底面ABC成60°的角，AA1=2，

∴∠B1BH=60°，BH=1，B1H=

在底面ABC内，过H作HT⊥AF，垂足为T，连B1T，由三垂线定理有B1T⊥AF，

又平面B1CE与底面ABC的交线为AF，∴∠B1TH为所求二面角的平面角．

∴AH=AB+BH=3，∠HAT=30°，∴HT=AH
．

在Rt△B1HT中，
，

从而平面B1GE与底面ABC成锐二面角的正切值为
…………… 12分

解法2：（Ⅰ）∵侧面AA1B1B⊥底面ABC，侧棱AA1与底面ABC成60°的角，∴∠A1AB=60°，

又AA1=AB=2，取AB的中点O，则AO⊥底面ABC．

以O为原点建立空间直角坐标系O—
如图，

则
，
，
，

，
，
．

∵G为△ABC的重心，∴
．

，∴
，

∴
．

又GE侧面AA1B1B，∴GE//侧面AA1B1B． …………… 5分

（Ⅱ）设平面B1GE的法向量为
，则由
得

可取
又底面ABC的一个法向量为

设平面B1GE与底面ABC所成锐二面角的大小为
，则
．

由于
为锐角，所以
，进而
．

故平面B1GE与底面ABC成锐二面角的正切值为
…………… 12分

20解：（Ⅰ）因为
，

当
时，
，

两式相减，得
（
），

又当
时，
，适合上式，

从而
（
） …………… 5分

（Ⅱ）因为数列
的首项为3，公比为3，故
，
，

所以
．

因为对任意的
，都有
成立，

即
恒成立，

化简得
…………… 9分

当为奇数时，
恒成立，所以
，即
，

当为偶数时，
恒成立，所以
，即
，

综合可得
…………… 13分

21解：（Ⅰ）已知
，则过点F且斜率为1的直线方程为
．

联立
消去y得：
，

设
，则
，

所以 |MN|=
=4， 解得p=1．

所以抛物线的方程为
………………………… 5分

（Ⅱ）设
，不妨设b>c，

直线PB的方程为
，

化简得
，又圆心（1,0）到直线PB的距离为1，

故
，即
，

不难发现
，上式又可化为
，

同理有
， 所以b，c可以看做关于t的一元二次方程

的两个实数根，则
，

所以

因为点
是抛物线上的点，所以
，则
，

又
，所以
．

所以
，

当且仅当
时取等号，此时
，

所以
面积的最小值为8 ………………………… 13分

22解：（Ⅰ）
，

当
时，
恒成立，则函数
在
上单调递增，

此时函数
的单调递增区间为
，无单调递减区间；

当
时，由
，得
，

由
，得
，

此时
的单调递增区间为