2015年春期普通高中三年级第二次诊断测试数学（文史类）

第Ⅰ卷（选择题，共50分）

注意事项：

必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑．

一、选择题:本大题共10个小题,每小题5分,共50分；在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合
，
，若
，则

（A）
（B）
（C）
（D）

2. 为调查学生身高的情况，随机抽测了高三两个班120名学生的身高(单位：cm)，所得数据均在区间[140，190]上，其频率分布直方图如图所示（左下），则在抽测的120名学生中，身高位于区间[160，180）上的人数为

（A）70 （B）71 （C）72 （D）73

3. 抛物线
的焦点到双曲线
的渐近线的距离是

（A）
（B）
（C）
（D）

4. 某三棱锥的三视图如图所示（右上），则该三棱锥的体积是

（A）
（B）
（C）
（D）

5. 设
，则“
”是“
”的

（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件

6. 将函数
的图象向左平移
个单位，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），则所得函数图象对应的解析式为

（A）
（B）
（C）
（D）

7. 函数
的图象大致为

（A） （B） （C） （D）

8. 右图是用计算机随机模拟的方法估计概率的程序框图，表示估计结果，则输出的近似值为

（A）
（B）
（C）
（D）

9. 直线
与椭圆
(
)交于、两点，为椭圆
的左焦点，且
. 若
，则椭圆
的离心率的取值范围为

（A）
（B）

（C）
（D）

10．已知集合
，若满足
的所有点
均在直线
的同侧，则实数的取值范围是

（A）
（B）

（C）
（D）

第Ⅱ卷（非选择题，共100分）

注意事项：

必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答．作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚．试题卷上作答无效.

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，请把答案填在答题卡对应的题中横线上.

11. 已知为虚数单位，则复数
的实部为 ▲ .

12. 在正项等比数列{
}中，若
，则
…
▲ .

13. 在
中，角、、所对的边分别是、、， 若
，
，且
，则的值为 ▲ .

14. 已知
，
，点满足
，则
▲ .

15. 如果
的定义域为，对于定义域内的任意，存在实数使得
成立，则称此函数具有“
性质”. 给出下列命题：

①函数
具有“
性质”；

②若奇函数
具有“
性质”，且
，则
；

③若函数
具有“
性质”，图象关于点
成中心对称，且在
上单调递减，则
在
上单调递增；

④若不恒为零的函数
同时具有“
性质”和“
性质”，且函数
对
，都有
成立，则函数
是周期函数.

其中正确的命题有 ▲ (写出所有正确命题的编号)．

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．不能答在试卷上，请答在答题卡相应的方框内.

16.（本小题满分12分）

2015年央视3.15晚会中关注了4S店的小型汽车维修保养，公共wifi的安全性，网络购物等问题，某网站对上述三个问题进行了满意度的问卷调查，结果如下：

4S店的小型汽车维修保养

公共wifi的安全性

网络购物



满意

200人

400人

800人



不满意

400人

100人

400人



（I）在所有参与该问卷调查的人员中，用分层抽样的方法抽取人，其中有8人不满意4S店的小型汽车维修保养，求的值.

（II）在对参与网络购物满意度调查的人员中，用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中任意选取2人，求恰有1人对网络购物满意的概率.

17.（本小题满分12分）

如图，在平面直角坐标系
中，以轴非负半轴为始边的角的终边与单位圆交于点，过点作轴的垂线与射线
交于点
，

（I）若

（II）求
的最大值．

18.（本小题满分12分）

如图，四棱锥
中，
平面
，
是边长为3的正三角形，
，
.

（I）求证：平面
平面
；

（II）在线段
上是否存在点
，使得
平面
. 若存在，求三棱锥
的体积；若不存在，请说明理由.（锥体体积公式：
，其中
为底面面积，
为高）

19.（本小题满分12分）

已知公差为
的等差数列
满足：
，
．

（I）求
、
，以及数列
的通项公式；

（II）令
，
，求数列
的前项和
.

20.（本小题满分13分）

已知椭圆
经过
、
两点.

（I）求椭圆
的方程；

（II）过点且不与坐标轴垂直的直线交椭圆
于另一点
，交轴于点，点
关于轴的对称点为
，直线
交轴于点
. 求
的最小值.

21.（本小题满分14分）

已知函数
（
，
为常数），且
在
处的切线方程为
.

（I）求，
的值；

（II）设函数
.

（i）求
的单调区间；

（ii）设
，
，求证：当
时，
.