绝密★启用前
学科网

2015年普通高等学校招生全国统一考试（江苏押题卷1）

数 学 试 题

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应的位置上.

复数

(
是虚数单位)，则z的实部是 －3 .

已知集合A={x|－1≤x≤2}，B={x|x＜1}，则A∩(C∪B)=
.

在学生人数比例为2:3:5的A，B，C三所学校中，用分层抽样方法招募n名志愿者，若在A学校恰好选出了6名志愿者，那么n= 30
.

已知直线
：
和
：

，则
的充要条件是

.

已知
为锐角，
，则
－3 .

设a，b，c是单位向量，且a=b+c，则向量a，b的夹角等于
.

如图是一个算法的流程图，若输出的结果是31，则判断框中的整数
的值是 4 .

若x，y，z为正实数，则
的最大值是

提示：

已知函数f(x)=
，若存在x1，x2
R，x1≠x2，使f(x1)= f(x2)成立，则实数a的取值范围

是 a＜2

提示：数形结合，a分三种情况讨论.

已知△ABC三顶点的坐标为A(1，0)，B(0，2)，O(0，0)，P(x，y)是坐标平面内一点，且满足·≤0，
≥0，则
的最小值是 3

提示：由已知得·=(x－1，y)·(1，0)=x－1≤0，且
=(x，y－2）·(0，2)=2(y－2)≥0，即x≤1，且y≥2，所以
=(1，0)·(1，0)=－x+2y≥－1+4=3

在△ABC中，D为BC中点，∠BAD=45°，∠CAD=30°，AB=
，则AD=

提示：设BC=2a，由
、
立得。

等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则等比数列{an}的公比为

提示：设等比数列{an}的公比为q（q≠0），由4 S2= S1+3S3，得4(a1+a1q)=a1+3(a1+a1q+a1q2)，即3q2－q=0，∴ q=

在平面直角坐标系中，设直线l：kx－y+
=0与圆C：x2+y2=4相交于A、B两点，
.若点M在圆C上，则实数k= ±1

提示：
，则四边形OAMB是锐角为600的菱形，此时，点O到AB距离为1.由
=1， 解出k=±1

如图是网络工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型：数字1出现在第1行；数字2，3出现在第2行；数字6，5，4(从左至右)出现在第3行；数字7，8，9，10出现在第4行；依此类推，则第63行从左至右的第5个数应是 2012

提示：由每行的行号数和这一行的数字的个数相同可求出第63行最左边的数是
=2016，所以，从左至右的第5个数应是2016－4=2012

二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.

15.（本小题满分14分）

已知向量
=(sin
，1)，
=(cos
，
)，且
∥
，其中

(0，
)

(1)求
的值；

(2)若sin(
)=
，0＜
＜
，求cos
的值?

解：(1)∵
=(sin
，1)，
=(cos
，
)，且
∥

∴
sin
－ cos
=0，即
，

∵

(0，
)，∴
=
，

(2)∵ 0＜
＜
，
=
，

∴－
＜
－
＜
.

∵sin(
－
)=
，

∴cos(
－
)=
=
.

=
×
×
=

16. （本小题满分14分）

如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，侧面ABB1A1和侧面ACC1A1均为正方形，

∠BAC=90°，D为BC的中点.

(1)求证：A1B∥平面ADC1

(2)求证：C1A⊥B1C

证明：

（1）连接A1C，交A C1于点O， 连接OD.

∵四边形ACC1A1为正方形，所以O为A1C的中点，

又D为BC的中点，

∴OD为△A1BC的中位线，

∴A1B∥OD.

∵OD
平面ADC1

A1B
平面ADC1

∴A1B∥平面AD C1

（2）由(1)可知，

∵侧面
为正方形，

且

∴

又∵

∴

∴

∴

17. （本小题满分14分）

某直角走廊的示意图如图所示，其两边走廊的宽度均为2m.

(1)过点P的一条直线与走廊的外侧两边交于A、B两点，且与走廊的一边的夹角为
(0＜
＜
)，将线段AB的长度l表示为
的函数；

(2)一根长度为5m的铁棒能否水平(铁棒与地面平行)通过该直角走廊?请说明理由(铁棒的粗细忽略不计)

解：(1)根据图得l(
)=BP+AP=
.

(2)铁棒能水平通过该直角走廊，理由如下：

=

令
得，
=
.

当


为减函数；

当

为增函数；

所以当

有最小值
，

因为
>5，所以铁棒能水平通过该直角走廊.

18. （本小题满分16分）

椭圆C：
=1 (a>b>0)两个焦点为F1，F2，点P在椭圆C上，且PF1⊥F1F2，且
，
.

(1)求椭圆C的方程

(2)以此椭圆的上顶点B为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形ABC，这样的直角三角形是否存在?若存在，请说明有几个；若不存在，请说明理由?

解：(1)∵
，∴C=
，又PF1⊥F1F2，

∴

∴

∴所求椭圆C的方程为

(2)假设能构成等腰直角三角形ABC，其中B(0，1)，由题意可知，直角边BA，BC不可能垂直或平行于
轴，故可设BA边所在直线的方程为
，则BC边所在直线的方程为
.

由

(舍)，x2=
，故A（
，
+1），

∴
，

用
代替上式中的k，得

由|AB|=|BC|，得|k|(4+k2)=1+4k2，

即k3+4k2+4k+1=0，即(k+1)(k2+3k+1)=0，

∵k＜0，∴解得k=－1或k=
，

故存在三个满足题设条件的内接等腰直角三角形.

19.（本小题满分16分）

有n个首项都是1的等差数列，设第m个数列的第k项为amk(m，k=1，2，3，…，n，n≥3)，公差为dm，并且a1n，a2n，a3n，…，ann成等差数列?

(1)证明dm=p1d1+p2d2(3≤m≤n，p1，p2是m的多项式)，并求p1+p2的值

(2)当d1=1，d2=3时，将数列{dm}分组如下：

(d1)，(d2 ，d3， d4)，(d5 ，d6 ，d7， d8 ，d9)，…(每组数的个数构成等差数列).

设前m组中所有数之和为(cm)4(cm>0)，求数列{
dm}的前n项和Sn.

(3)设N是不超过20的正整数，当n>N时，在(2)的结论下，求使得不等式
(Sn－6) >dn成立的所有N的值?

解：(1)由题意知
.

，

同理，a3n－a2n=(n－1)(d3－d2)，a4n－a3n=(n－1)(d4－d3)，…

.

又因为
成等差数列，所以

故d2－d1=d3－d2=…=dn－dn－1，即
是公差为d2－d1的等差数列.

所以
=d1+(m－1)(d2－d1)=(2－m)d1+(m－1)d2

令p1=2－m，p2=m－1，则
=p1d1+p2d2 此时p1+p2=1

(2)当
=1，
=3时，
=2m－1(m

)

数列{
}分组如下：(
)，(
，
，
)(
)…

按分组规律，第m组中有2m－1个奇数，

所以第1组到第m组共有1+3+5+…+(2m－1)=
个奇数.

注意到前k个奇数的和为1+3+5+…+(2k－1)=
，

所以前
个奇数的和为

=

即前m组中所有数之和为
，所以
.

因为
>0，所以
=m， 从而
=(2m－1)·
(
).

所以
=1·2+3·
+5·
+7·
+…+
·
+(2n－1)·

2
=1·
+3·
+5·
+7·
+…+
·
+(2n－1)·

故－
=2+2·
+2·
+2·
+…+2·
－(2n－1)·

=2(2+
+
+…+
)－2－2n－1)·

=2×
－2－
·
=
－6.

所以
=

(3)由(2)得

=

故不等式
就是

>50(2n－1)

考虑函数

当n=1，2，3，4，5时都有
即
＜50(2n－1)

而
9(128－50)－100=602>0，

注意到当n
6时，
单调递增，故有

因此当n
6时，
成立，即
成立.

所以，满足条件的所有正整数N=5，6，7，…..20.

20.（本小题满分16分）

对任意x
R，给定区间[k－
，k+
](k
Z)，设函数f(x)表示实数x与x所属的给定区间内唯一整数之差的绝对值?

(1)当x
[－
，
]时，求出f(x)的解析式；x
[k－
，k+
](k
Z)时，写出绝对值符号表示的f(x)解析式；

(2)求f(
)，f(
)，判断函数f(x)(x
R)的奇偶性，并证明你的结论；

(3)当
＜a＜1时，求方程f(x)—

=0的实根?(要求说明理由，
>
)

解：(1)当

时，
中唯一整数为0，

有定义知：
，

.

当
时，在
中唯一整数为k，

有定义知：

.

(2)∵
－
，

∴