说明：

一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则。

二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答末改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。

四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．

（1）A （2）B （3）A （4）D （5）C （6）C

（7）B （8）C （9）D （10）D （11）C （12）D

（11）题引申：如果把题中的“
”改成“
”，答案是
或
．

（12）题①②④是正确的．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

（13）
（14）
（15）
（16）

三、解答题：本大题共6小题，共70分．

（17）（本小题满分12分）

解：（I）由
得

，

∴
是首项为1，公差为2的等差数列； …………（6分）

（II）由（I）得
，于是
，

当
时，

而
，∴
的通项公式
． …………（12分）

【注意】“累加”法，不要忘记验证
情形．

（18）（本小题满分12分）

（I）证明：如图，连结A1B与AB1交于E，连结DE，则E为A1B的中点，

∴BC1∥DE，
平面
，
平面
，

∴
∥平面
； …………（6分）

（II）方法1：

过D作DF⊥A1B1于F，由正三棱柱的性质，AA1⊥DF，

∴DF⊥平面ABB1A1，连结EF，DE，

∴DE⊥AB1，∴可得EF⊥AB1，

则∠DEF为二面角A1－AB1－D的平面角， …………（8分）

在正三角形A1B1C1中，∵D是A1C1的中点，

∴
＝
，

又在直角三角形AA1D中，∵AD＝＝
，

∴AD＝B1D，可求得
，

∵△B1FE∽△B1AA1，得
，

∴cos∠DEF＝，即二面角A1－AB1－D的余弦值为． …………（12分）

方法2：

建立如图所示空间直角坐标系，

则
，
，

，
，

，

∴
＝（0，1，
），
＝（－
a，－
,0），

设n1＝（x，y，z）是平面AB1D的一个法向量，

则可得 ，即
．

∴n1＝（－，1，－）．
，

又平面ABB1A1的一个法向量n2＝＝（－
,0,0），

设n1与n2的夹角是θ，则 cosθ＝＝，

又可知二面角A1－AB1－D是锐角，

∴二面角A1－AB1－D的余弦值为． …………（12分）

（19）（本小题满分12分）

解：（I）∵
，
，

∴这100名学生数学成绩的中位数是
； …………（6分）

（II）∵数学成绩在[100，140）之内的人数为

∴数学成绩在[140，150]的人数为
人，

而数学成绩在[130，140）的人数为
人，

可取0,1,2，

，
，
，

分布列

0

1

2













∴
． …………（12分）

【引申】本题还可以这样设问：根据题中的数据，分析比较这个班级的语文成绩数学成绩．

可以从以下几个方面选择回答：

①由直方图估分别计出语文成绩数学成绩的中无数，比较其大小，写出一个统计结论；

②比较语文成绩数学成绩130或140以上人数的多少，写出一个统计结论；

③由直方图估分别计出语文成绩数学成绩的众数（或从形成单峰处），比较其大小，写出一个统计结论；

④由直方图估分别计出语文成绩数学成绩的平均分，比较其大小，写出一个统计结论；

⑤由直方图估分别计出语文成绩数学成绩的方差，写比较其大小，出一个统计结论．

（20）（本小题满分12分）

解：（I）根据已知，椭圆的左右焦点为分别是
，
，
，

∵
在椭圆上，

∴
，

，
，

椭圆的方程是
； …………（6分）

（II）方法1：设
，则
，

，

∵
，∴
，

在圆中，
是切点，

∴
，

∴
，

同理
，∴
，

因此△
的周长是定值
． …………（12分）

方法2：设
的方程为
，

由
，得

设
，则
，
，

∴

，

∵
与圆
相切，∴
，即
，

∴
，

∵
，

∵
，∴
，同理
，

∴
，

因此△
的周长是定值
． …………（12分）

（21）（本小题满分12分）

解：（I）
，由题意
，得
， …………（2分）

此时
，定义域是
，

令
，

∵
，∴
在
是减函数，且
，

因此当
时，
，当
时，
，

∴
在
上是增函数，在
上是减函数； …………（6分）

（II）不等式
可以化为
，

设
，则
，

即判断是否存在
，使
在
是减函数， …………（8分）

∵
，

∵
，
，
，

∴
在
和
上各有一个零点，分别设为
和
，列表：































极小



极大





∴
在
是增函数，在
是减函数，

∵

，∴不存在这样的值． …………（12分）

【注意】“当
时，不等式
对任意正实数都成立”这句话符合必修1中函数单调性定义，说明
在
是减函数．

（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

解：（I）的极坐标方程化为
，

∴的直角坐标方程是
，

即
，

的参数方程是
，是参数； …………（5分）

（II）由
（是参数）得到

∴
的最大值是6，最小值是2． …………（10分）

（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

解：（I）当
时，此不等式为
，解得
，

∴不等式的解集为
； …………（5分）

（II）∵
，

∴原不等式解集为等价于
，∵
，∴
，

∴实数的取值范围为
． …………（10分）