2015年春期普通高中三年级第二次诊断考试数学（理工农医类）

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

注意事项：必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑．

一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.若集合
，
，则

（A）
（B）
（C）
（D）

2.在复平面内，复数
对应的点所在的象限是

（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限

3.抛物线
的焦点到双曲线
的渐近线的距离是

（A）
（B）
（C）
（D）

4.某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是

（A）
（B）
（C）
（D）

5.下列说法中正确的是

（A）命题“若
，则
”的逆命题是真命题

（B）命题
，
,则
，

（C）“
”是“
”成立的充分条件

（D）“
”是“
”成立的充分不必要条件

6.函数
的图象大致为

7.设
，过定点的动直线
与过定点的

动直线
交于点
，则
的

最大值为

（A） （B）

（C）
（D）

8.右图是用计算机随机模拟的方法估计概率的程序框图,

表示估计结果,则输出的近似值为

（A）
（B）

（C）
（D）

9.已知抛物线
，
为坐标原点，过点

作直线
交抛物线于
两点.有如下命题：

①
②

③
④
周长的最小值为

则上述命题正确的是

（A）①② （B）①②③

（C）②③④ （D）①②③④

10.若方程
各个实根
，
，…，
（
）所对应的点
，
，…，
均在直线
的同侧，则实数的取值范围是

（A）
（B）

（C）
（D）

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

注意事项：

必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答．作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚．试题卷上作答无效.

二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分．

11.在正项等比数列{
}中，若
，则
…
▲ .

12.在
的展开式中，
的系数为 ▲ .

13.在
中, 角、、所对的边分别是，，， 若
,
,
，则的值为 ▲ .

14.某学校高一、高二、高三三个年级学生人数分别为
人，
人，
人，用分层抽样的方法，从该校三个年级的学生中抽取
人，现将这
人分配到甲、乙两个工厂参观，要求每个工厂每个年级至少去一人，则共有 ▲ 种不同的分配方案（用数字作答）.

15.如果
的定义域为，对于定义域内的任意，存在实数使得
成立，则称此函数具有“
性质”. 给出下列命题：

①函数
具有“
性质”；

②若奇函数
具有“
性质”，且
，则
；

③若函数
具有“
性质”， 图象关于点
成中心对称，且在
上单调递减，则
在
上单调递减,在
上单调递增；

④若不恒为零的函数
同时具有“
性质”和 “
性质”，且函数
对
，都有
成立，则函数
是周期函数.

其中正确的是 ▲ (写出所有正确命题的编号)．

三、解答题：本大题共6个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16.（本小题满分12分）根据十八大的精神，全国在逐步推进教育教学制度改革，各高校自主招生在高考录取中所占的比例正在逐渐加大.对此，某高校在今年的自主招生考试中制定了如下的规则：笔试阶段，考生从
道备选试题中一次性抽取
道题，并独立完成所抽取的
道题，至少正确完成其中道试题则可以进入面试.已知考生甲正确完成每道题的概率为
,且每道题正确完成与否互不影响；考生乙能正确完成
道试题中的道题，另外道题不能完成.

求考生甲至少正确完成道题的概率；

求考生乙能通过笔试进入面试的概率；

记所抽取的三道题中考生乙能正确完成的题数为
，求
的分布列和数学期望.

17.（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系
中，角以轴非

负半轴为始边，其终边与单位圆交于点，过点作轴的垂线与射线

交于点
，其中

若

求
面积的最大值．

18.（本小题满分12分）如图，在四棱锥
中，
是正三角形，
是等腰三角形，
，
.

求证：
；

若
，
，平面
平面
，直线
与

平面
所成的角为
.

试判断在线段
是否存在点
，使得
平面
，并说明理由；

求二面角
的余弦值.

19.（本小题满分12分）已知公差为
的等差数列
满足：
．

求首项
和公差
，并求数列
的通项公式；

令
，
，求数列
的前项和
.

20.（本小题满分13分）已知椭圆
的右焦点为
，且点
在椭圆上，过点
且不垂直于轴直线
与椭圆
相交于、两点.

求椭圆
的方程；

求
的取值范围；

若点关于x轴的对称点是，证明：直线
过定点.

21.（本小题满分14分）
且
在
处切线方程为

,

；