‘

第I卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．集合
，
,
,则
等于

A．
B．
C．
D．

2．复数
（i是虚数单位）,则复数Z在复平面内对应的点在

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戌中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为 （ ）

A．
B．
C．
D．

4．某程序框图如图所示，若输出的
，则判断框内为

A．
B．
C．
D．

5．等差数列中，
，则该数列前13项的和是

A．13 B．26 C．52 D．156

6．下列说法正确的是

A．若
为假，则
均为假．

B．若
，则
．

C．若
，则
的最小值为4．

D．线性相关系数
越接近1，表示两变量相关性越强．

7．函数
是

A．最小正周期为的偶函数 B．最小正周期为的奇函数

C．最小正周期为
的偶函数 D．最小正周期为
的奇函数

8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

A．
B．2
C．
D．

9．如图所示，一游泳者自游泳池边
上的点，沿
方向游了10米,
,然后任意选择一个方向并沿此方向继续游，则他再游不超过10米就能够回到游泳池
边的概率是

A．
B．
C．
D．

10．若函数
在
上单调递减，则
可以是

A．1 B．
C．
D．

11．过双曲线
的左焦点
作圆
的切线，切点为，延长
交双曲线右支于点，若
，则双曲线的离心率为

A．
B．
C．
D．

12．若直角坐标平面内
两点满足条件：①点
都在
的图象上；②点
关于原点对称，则对称点对
是函数的一个“兄弟点对”（点对
与
可看作一个“兄弟点对”）．已知函数
, 则
的“兄弟点对”的个数为

A．2 B．3 C．4 D．5

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．平面向量
与
的夹角为60°，
,则
等于

14．若
满足
，则
的最小值为

15．已知三角形
所在平面与矩形
所在平面互相垂直，
，
，若点
都在同一球面上，则此球的表面积等于

16．已知
，

则
=

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分10分）已知等比数列
前项和为
,且满足
,

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）求
的值。

18．（本小题满分12分）如图，在
中，已知
,是
边上的一点，

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）求
的值。

19．（本小题满分12分）某旅行社为调查市民喜欢“人文景观”景点是否与年龄有关，随机抽取了55名市民，得到数据如下表：

喜欢

不喜欢

合计



大于40岁

20

5

25



20岁至40岁

10

20

30



合计

30

25

55



（Ⅰ）判断是否有99．5％的把握认为喜欢“人文景观”景点与年龄有关？

（Ⅱ）用分层抽样的方法从喜欢“人文景观”景点的市民中随机抽取6人作进一步调查，将这6位市民作为一个样本，从中任选2人，求恰有1位“大于40岁”的市民和1位“20岁至40岁”的市民的概率．

下面的临界值表供参考：

0．15

0．10

0．05

0．025

0．010

0．005

0．001





2．072

2．706

3．841

5．024

6．635

7．879

10．828



（参考公式：
，其中
）

20．（本小题满分12分）如图所示，矩形
中，
，
，
，且
，
交于点
。

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）求三棱锥
的体积．

21．（本小题满分12分）设函数

（Ⅰ）当
时，求
的单调区间；

（Ⅱ）若当
时，
恒成立，求的取值范围．

22．（本小题满分12分）已知点
分别是椭圆
的左、右焦点, 点
在椭圆上
上．

（Ⅰ）求椭圆
的标准方程;

（Ⅱ）设直线
若
、
均与椭圆
相切,试探究在轴上是否存在定点
,点
到
的距离之积恒为1?若存在,请求出点
坐标;若不存在,请说明理由．

一、选择题

选项

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

C

B

D

B

B

D

B

D

A

C

A

D



二、填空题

13．
； 14．3 ； 15．
； 16．11

三、解答题

17．解：（1）法一：

解得

得
，
，通项公式为
……5分

‘

…5分

（2）
……6分

则
…12分

18．解：法一：（Ⅰ）由余弦定理
得
，
，
…8分

（Ⅱ）
得

…12分

法二：由正弦定理可得

,

…8分

由正弦定理可得

……12分

19．解：（1）由公式

所以有
的把握认为喜欢“人文景观”景点与年龄有关 ……5分

（2）设所抽样本中有个“大于40岁”市民，则
，得
人

所以样本中有4个“大于40岁”的市民，2个“20岁至40岁”的市民，分别记作
，从中任选2人的基本事件有

其中恰有1名“大于40岁”和1名“20岁至40岁”之间的市民的事件有






共8个

所以恰有1名“大于40岁”和1名“20岁至40岁”之间的市民的概率为
……12分

20．解：（1）证明：由题意可得G是AC的中点，连结FG，

∵BF⊥平面ACE，∴CE⊥BF．而BC＝BE，∴F是EC的中点， …………2分

在△AEC中，FG∥AE，∴AE∥平面BFD． …………………5分

（2） ∵AD⊥平面ABE，AD∥BC，∴BC⊥平面ABE，则AE⊥BC．

又∵BF⊥平面ACE，则AE⊥BF，又BC∩BF＝B，∴AE⊥平面BCE． ………8分

∵AE∥FG．而AE⊥平面BCE，∴FG⊥平面BCF．∵G是AC中点，F是CE中点，

∴FG∥AE且FG＝AE＝1．∴Rt△BCE中，BF＝CE＝CF＝，………10分

∴S△CFB＝××＝1．∴VC－BGF＝VG－BCF＝·S△CFB·FG＝×1×1＝ …12分

21．解：（1）当
时，
，

………2分

令
得
；令
得

所以
的单增区间为
，
；单减区间为
………5分

（2）
，令
，
，
………………7分

当
时，令
，得
．当
时，
，
在
上是减函数，而
，从而当
时，
，即

综上，的取值范围是
……………………12分

22．解:（1）法一：由
,得
, ……………………1分

………2分

∴椭圆
的方程为
…………………4分

法二：由
,得
, ……………………1分

………3分
∴椭圆
的方程为
………………4分

（2）把
的方程代入椭圆方程得
………5分

∵直线
与椭圆
相切,∴
,化简得

同理把
的方程代入椭圆方程也得:
…………7分

（3）设在轴上存在点
,点到直线
的距离之积为1,则

,即
, …………………………9分

把
代入并去绝对值整理,
或者
………10分