高三二轮模拟测试题（理科数学） 2015.4

本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页。满分150分。考试用时120分钟。答题前，考生务必用0.5毫米的黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号填写在答题卡规定的位置。考试结束后，将答题卡交回。

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

注意事项：

每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。不涂在答题卡上，只答在试卷上不得分。

一.选择题:本大题共10个小题,每个小题5分,共计50分.每个小题只有一个选项符合题意.

1．已知实数集R，集合
集合
，则

A．
B．
C．
D．

2． 某个小区住户共
户,为调查小区居民的
月份用水量,用分层抽样的方法抽取了
户进行调查,得到本月的用水量(单位：m3)的频率分布直方图如图所示,则小区内用水量超过
m3的住户的户数为

A．
B．
C．
D．

3． 设
为两个不同的平面，、为两条不同的直线，

且
,有两个命题：：若
，则
；

： 若
， 则
；那么

A．“或”是假命题 B．“且”是真命题

C．“非或” 是假命题 D．“非且”是真命题

4． 运行如右图所示的程序框图,则输出
的值为

A．
B．
C． D．

5． 直线
与抛物线
所围成封闭图形的面积是

A．
B．
C．
D．

6．
的展开式中第5项是常数项，那么这个展开式中系数最大的项为

A．第9项 B．第8项 C．第9项和第10项 D． 第8项和第9项

7.已知
是定义在R上的奇函数，且当
的值为 （ ）

A -2 B
C
D 2

8．设函数
是此函数的一个单调递增区间。将
函数的图像向右平移个单位，得到一个新的函数
的图像，则
的一个单调递减区间是 （ ）

A
B
C
D

9．已知直线
交于不同的两点A、B，O是坐标原点，且有

,那么
的取值范围是 （ ）

A
B
C
D

10． 已知函数
的值域是[0,2]，则实数的取值范围是 （ ）

A. (0,1] B [1，
] C [1,2] D [
,2]

第II卷（非选择题　共100分）

注意事项：

第Ⅱ卷所有题目的答案，考生须用0.5毫米黑色签字笔答在答题纸规定的位置内。书写的答案如需改动，请先划掉原来的答案，然后再写上新的答案。不按题号顺序答题或超出答题区域书写的答案无效；在试卷上答题不得分。二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分,请将答案填在第Ⅱ答题纸上)

11． 已知复数满足
,为虚数单位,则复数
．

12．用一根长为12m的铝合金条做成一个“目”字形窗户的框架（不计损耗），要使这个窗户通过的阳光最充足，则框架的长（“目”中的“一”的长度）应为 m.

13．命题
.若此命题是假命题，则实数的取值范围是 （用区间表示）

14.已知函数
的最小值为
，则函数
的单调递增区间为

15．已知向量
且
，若变量
满足约束条件
则的最大值为

三、解答题:本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

16．（本小题满分12分）

已知锐角
中内角、、
的对边分别为、
、，
，且
．

（Ⅰ）求角
的值；

（Ⅱ）设函数
，
图象上相邻两最高点间的距离为，求
的取值范围．

17．（本小题满分12分）如图，在直四棱柱
中，底面
为平行四边形，且
，
，
，为
的中点．

（Ⅰ） 证明：
∥平面
；

（Ⅱ）求直线
与平面
所成角的正弦值．

18．（本小题满分12分）一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个函数：
,
,

，
，
，
．

（Ⅰ）从中任意拿取张卡片，求至少有一张卡片上写着的函数为奇函数的概率；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求两张卡片上写着的函数相加得到的新函数为奇函数的概率；

(Ⅲ)现从盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张写有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数
的分布列和数学期望．

19．（本小题满分12分）已知等差数列
（
N+）中,
,
,
．

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）若将数列
的项重新组合，得到新数列
，具体方法如下：
，
，
，
，…,依此类推，第项
由相应的
中
项的和组成，求数列
的前项和
．

20．（本小题满分13分）已知
，函数

（I）设曲线
在点
处的切线为
，若
与圆
相切，求a的值；

（II）求函数
的单调区间；

（III）求函数
上的最小值。

21．（本小题满分14分）

已知椭圆：
的左焦点
，若椭圆上存在一点，满足以原点为圆心以椭圆短轴长为直径的圆与线段
相切于线段
的中点．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）已知两点
及椭圆
：
,过点
作斜率为
的直线
交椭圆
于
两点,设线段
的中点为
,连结
,试问当
为何值时,直线
过椭圆
的顶点?

(Ⅲ) 过坐标原点
的直线交椭圆
：
于、两点，其中在第一象限，过作轴的垂线，垂足为
，连结
并延长交椭圆
于，求证：
．

高三二轮模拟测试题（理科数学）试题答案 2015.4

一、1---5: B C D B C 6---10: A B D C B

二、11．
12．
13．
14.
15．

17．解（Ⅰ） 证明：连接
，

因为
，
,所以
∥
……………2分

因为
面
，
面

所以
∥面
………………………………4分

（Ⅱ）作
，分别令
为

轴，轴，轴,建立坐标系如图

因为
，
，所以
，

所以
，
，
，
…6分

设面
的法向量为
,所以
．

化简得
，令
，则
………………………………10分

设
，则

设直线
与面
所成角为，则

所以
，则直线
与面
所成角的正弦值为
……………12分

18．解：（Ⅰ）
为奇函数；
为偶函数；
为偶函数；

为奇函数；
为偶函数;
为奇函数……………2分

（注：每对两个得1分，该步评分采用去尾法）

所有的基本事件包括两类：一类为两张卡片上写的函数均为奇函数；另一类为两张卡片上写的函数为一个是奇函数，一个为偶函数;故基本事件总数为

故所求概率为
………………………………………………4分

（Ⅱ）
………………………………………………6分

(Ⅲ)
可取1，2，3，4． …………………………………………………7分

；

故
的分布列为

1

2

3

4















 …………………………………10分

的数学期望为
……………………………………………………………12分

（Ⅱ）由题意得：

…………………………6分

而
是首项为,公差为
的等差数列的前
项的和,所以

所以
………………………………10分

所以

所以
……………………12分

21．（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）连接

为坐标原点,
为右焦点），由题意知：椭圆的右焦点为

因为
是
的中位线，且
,所以

所以
，故
…………………………2分

在
中，

即
,又
,解得

所求椭圆的方程为
．……………………………………………………4分

(Ⅱ) 由（Ⅰ）得椭圆
：

设直线
的方程为
并代入

整理得：

由
得：
……………………………………………………5分

设

则由中点坐标公式得：
………………………………………6分

①当
时,有
,直线
显然过椭圆
的两个顶点
;

………………………………………………7分

②当
时,则
,直线
的方程为

此时直线
显然不能过椭圆
的两个顶点
;

若直线
过椭圆
的顶点
,则
即

所以
,解得：
(舍去)……………………………………8分

若直线
过椭圆
的顶点
,则
即

所以
,解得：
(舍去) ……………9分

综上,当
或