鄢陵县一高2016届高三第二次周考

理科数学试卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．若集合
，且
，则集合
可能是（ ）

A．
B．
C．
D．

2．设
是虚数单位，
是复数
的共轭复数，若
，则
为（ ）

A．
B．
C．
D．

3．在如图所示的程序框图中，如果任意输入的t∈[-2,3]，那么输出的s取值范围是( )

A．[-8，-1] B．[-10，0] C．[-10，6] D．(-6，6]

4．如图是一个有底的容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度随时间变化的可能图像是( )

5．甲、乙两位同学各拿出六张游戏牌，用作投骰子的奖品，两人商定：骰子朝上的面的点数为奇数时甲得1分，否则乙得1分，先积得3分者获胜得所有12张游戏牌，并结束游戏.比赛开始后，甲积2分，乙积1分，这时因意外事件中断游戏，以后他们不想再继续这场游戏，下面对这12张游戏牌的分配合理的是（ ）

A．甲得9张，乙得3张 B．甲得6张，乙得6张

C．甲得8张，乙得4张 D．甲得10张，乙得2张

6．已知
是首项为
的等比数列，
是其前
项和，且
,则数列
前

项和为（ ）

A．
B．
C．
D．

7．A和B是抛物线
上除去原点以外的两个动点，
是坐标原点且满足

，则动点
的轨迹方程为（ ）

A．
B．
C．
D．

8．设
、
是双曲线
的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P，使

（O为坐标原点）且

则
的值为（ ）

A．2 B．
C．3 D．

9．设
若
，则z的最小值为（ ）

A.-4 B.-2 C.-1 D.0

10. 已知函数
是定义在
上的偶函数，则
的最

小正周期是（ ）

A. 6π B. 5π C.4π D.2π

11．函数
,

为奇函数，当
时，
，若
，则a，b，c的大小顺序为( )

A. a＜b＜c B. c＞b＞a C. c＜a＜b D. c＞a＞b

12．设函数
在
上存在导数
，
，有
，在
上

，若
，则实数
的取值范围为（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分共20分.

13．设A＝
，则
= .

14．已知矩形
的周长为
，把它沿图中的虚线折成正六棱柱，当这个正六棱柱的体积最大时，它的外接球的表面积为 .

15．已知数列
是各项均不为
的等差数列,
为其前
项和,且满足
．

若不等式
对任意的
恒成立,则实数
的取值范围是 ．

16．如图，已知正方形
的边长为
，
在
延长线上，且
.动点
从点
出发，沿正方形
的边按逆时针方向运动一周回到
点，其中
，则下列命题正确的是 .

（填上所有正确命题的序号）

①
；②当点
为
中点时，
；③若
，则点
有且只有一个；④
的最大值为
；⑤
的最大值为
.

三、 解答题：解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤

17．（本小题满分12分）在
中，角
所对的边分别为
，满足
，且
.

（1）求角
的大小；

（2）求
的最大值，并求取得最大值时角
的值.

18.（本小题满分12分）某工厂生产甲，乙两种芯片，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为合格品，小于82为次品．现随机抽取这两种芯片各100件进行检测，检测结果统计如下：

测试指标

[70，76）

[76，82）

[82，88）

[88，94）

[94，100]



芯片甲

8

12

40

32

8



芯片乙

7

18

40

29

6



（1）试分别估计芯片甲，芯片乙为合格品的概率；

（2）生产一件芯片甲，若是合格品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件芯片乙，若是合格品可盈利50元，若是次品则亏损10元．在（1）的前提下，

（i）记X为生产1件芯片甲和1件芯片乙所得的总利润，求随机变量X的分布列；

（ii）求生产5件芯片乙所获得的利润不少于140元的概率．

19.（本小题满分12分）如图，在组合体中，
是一个长方体，
是一个四棱锥．
，
，点
且
．

（1）证明：
；

（2）求
与平面
所成的角的正切值；

（3）若
，当
为何值时，
．

20.（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，已知椭圆
，设
是椭圆
上任一点，从原点
向圆
作两条切线，切点分别为
.

（1）若直线
互相垂直，且
在第一象限，求圆
的方程；

（2）若直线
的斜率都存在，并记为
，求证：

21. （本小题满分12分）设函数
．

（1）若函数
是定义域上的单调函数，求实数
的取值范围；

（2）若
，试比较当
时，
与
的大小；

（3）证明：对任意的正整数
，不等式
成立．

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答.

22．（本小题满分10分）

选修4-1：几何证明选讲

如图，在ΔABC中，∠ABC = 90°，以AB为直径的圆O交

AC于点E，点D是BC边上的中点，连接OD交圆O与点M。

（1）求证：DE是圆O的切线；

（2）求证：DE · BC = DM · AC + DM · AB。

23．（本小题满分10分）

选修4-4：坐标系与参数方程

已知曲线C的极坐标方程是
，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是
（t为参数）

（1）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；

（2）设点
，若直线l与曲线C交于A，B两点，且
，求实数m的值。

24．（本小题满分10分）

选修4-5：不等式选讲

设函数
。

（1）解不等式
；

（2）若
，使得
，求实数m的取值范围。

鄢陵县一高2016届高三第二次周考理科数学试卷

答案

一、选择题

1. A 2. B 3. C 4.B 5. A 6. A 7. A 8.A 9.C 10. A 11. D 12. B

二、选择题

13. 128 14.
15.
16.①②④⑤

三、解答题

17.（本题满分12分）

解析：（1）由
，

可得
，即
，又
，所以
，

由正弦定理得
，

因为
，所以
0，从而
，即
.

（2）由余弦定理
，得
，

又
，所以
，于是
，

当
时，
取到最大值
.

18．（本题满分12分）

（Ⅰ）芯片甲为合格品的概率约为
，

芯片乙为合格品的概率约为
． …（3分）

（Ⅱ）（ⅰ）随机变量X的所有取值为90，45，30，﹣15.

；
；

；
．

所以，随机变量X的分布列为：

X

90

45

30

﹣15



P











…（8分）

（ⅱ）设生产的5件芯片乙中合格品n件，则次品有5﹣n件．

依题意，得 50n﹣10（5﹣n）≥140，解得
．所以 n=4，或n=5．

设“生产5件芯片乙所获得的利润不少于140元”为事件A，

则
． …（12分）

19. （本题满分12分）

方法一（综合法）:（1）证明：因为
，
，所以
为等腰直角三角形，所以
．（1分因为
是一个长方体，

所以
，而
，所以
，所以
．（3分）

因为PD垂直于平面PBC内的两条相交直线PC和BC，

由线面垂直的判定定理，可得
． （4分）

（2）过P点在平面CC1D1D作PE⊥CD于E，连接AE（5分）

因为面ABCD⊥面PCD，所以PE⊥面ABCD，

所以∠PAE就是PA与平面ABCD所成的角．（6分）因为PE=1，AE=
，

所tan∠PAE=
．（7分）所以PA与平面ABCD所成角的正切值为
（8分）

（3）当a=2时，PC∥平面AB1D． （9分）

当a=2时，四边形CC1D1D是一个正方形，

所以∠C1DC=45°，而∠PDC=45°，

所以∠PDC1=90°，所以
．

而
，
与
在同一个平面内，所以
．（10分）而
，

所以
，所以
． （12分）

方法二：（向量法）（1）如图建立空间直角坐标系，

设棱长
，则有
，
，
，
．（2分）于是
，

，

所以
，
．（3分）

所以PD垂直于平面PBC内的两条相交直线PC和BC，由线面垂直的判定定理，可得
． （4分）

（2）
，所以
，

而平面
的一个法向量为
． （5分）

所以
． （6分）

所以
与平面
所成的角的正弦值为
． （7分）

所以