2016年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合
，则
C

A、
B、
C、
D、

（2）设向量
＝(2,4)与向量
＝(x,6)共线，则实数x＝B

A、2 B、3 C、4 D、6

（3）若
为实数,且
,则
D

A、
B、
C、
D、

（4）某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是C

A、抽签法 B、系统抽样法 C、分层抽样法 D、随机数法

（5）已知抛物线
的准线经过点（-1，0），则抛物线焦点坐标为B

A、
B、
C、
D、

（6）“
”是“
”的A

A、充要条件 B、充分不必要条件

C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

（7）设
是等差数列
的前
项和,若
,则
A

A、
B、
C、
D、

（8）下列函数中，最小正周期为π的奇函数是B

A、y＝sin(2x＋
) B、y＝cos(2x＋
)

C、y＝sin2x＋cos2x D、y＝sinx＋cosx

（9）执行如图所示的程序框图,输出的S值为C

A、1 B、3 C、7 D、15

（10）设
，则
C

A、
B、
C、
D、

（11）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为D

A、
B、

C、
D、

（12）设函数
,则使得

成立的
的取值范围是A

A、
B、
C、
D、

二.填空题：本大题共4小题，每小题5分

（13）已知x、y为正实数，且
=2，则x+y的最小值是 。

（14）函数
在其极值点处的切线方程是__________.

（15）若
满足
，则目标函数
的最大值为 4 .

（16）在区间
上随机地选择一个数p，则方程
有两个负根的概率为________.2/3

三.解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤

（17）（本小题满分12分）

在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且a＝2csinA．

(1)确定角C的大小；

(2)若c＝，且△ABC的面积为，求a＋b的值．

解：(1)由a＝2csinA及正弦定理得，sinA＝2sinCsinA．

∵sinA≠0，∴sinC＝，∵△ABC是锐角三角形，∴C＝.

(2)∵C＝，△ABC面积为，∴absin＝，即ab＝6.①

∵c＝，∴由余弦定理得a2＋b2－2abcos＝7，即a2＋b2－ab＝7.②

由②变形得(a＋b)2＝3ab＋7.③

将①代入③得(a＋b)2＝25，故a＋b＝5.

（18）（本小题满分12分）

如图，圆锥的顶点为
，底面圆为
，底面的一条直径为
，
为半圆弧
的中点，
为劣弧
的中点，已知
，

（1）求三棱锥
的体积；1/3

（2）求异面直线
和
所成角的余弦值。

（19）（本小题满分12分）

随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下：

日期

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15



天气

晴

雨

阴

阴

阴

雨

阴

晴

晴

晴

阴

晴

晴

晴

晴





日期

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30



天气

晴

阴

雨

阴

阴

晴

阴

晴

晴

晴

阴

晴

晴

晴

雨



(1)在4月份任取一天，估计西安市在该天不下雨的概率；

(2)西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续两天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率.

解： (1)在容量为30的样本中，不下雨的天数是26，以频率估计概率，4月份任选一天，西安市不下雨的概率是
.

(2)称相邻两个日期为“互邻日期对”（如1日与2日，2日与3日等）这样在4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16对，其中后一天不下雨的有14个，所以晴天的次日不下雨的频率为
，

以频率估计概率，运动会期间不下雨的概率为
.

（20）（本小题满分12分）

如图，椭圆
经过点
，且离心率为
.

(1)求椭圆
的方程；

(2)经过点
，且斜率为
的直线与椭圆
交于不同两点
（均异于点
），证明：直线
与
的斜率之和为2.

解：(1)由题意知
，综合
，解得
，

所以，椭圆的方程为
.

(2)由题设知，直线
的方程为
，代入
，得

，

由已知
，设
，
，则
，

从而直线
与
的斜率之和

.

（21）.（本小题满分12分）

已知函数f(x)＝(a∈R)，g(x)＝.

(1)求f(x)的单调区间与极值；

(2)若函数f(x)的图象与函数g(x)的图象在区间(0，e2]上有公共点，求实数a的取值范围．

解　(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝.

令f′(x)＝0，得x＝e1－a，

当x∈(0，e1－a)时，f′(x)>0，f(x)是增函数；

当x∈(e1－a，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)是减函数．

所以函数f(x)的单调递增区间为(0，e1－a]，

单调递减区间为[e1－a，＋∞)，

极大值为f(x)极大值＝f(e1－a)＝ea－1，无极小值．

(2)令F(x)＝f(x)－g(x)＝，

则F′(x)＝.令F′(x)＝0，得x＝e2－a；

令F′(x)>0，得xe2－a，

故函数F(x)在区间(0，e2－a]上是增函数，在区间[e2－a，＋∞)上是减函数．

①当e2－a0时，函数F(x)在区间(0，e2－a]上是增函数，

在区间[e2－a，e2]上是减函数，F(x)max＝F(e2－a)＝ea－2.

又F(e1－a)＝0，F(e2)＝>0，

由图象，易知当0

当e1－a0，

此时函数f(x)的图象与函数g(x)的图象在区间(0，e2]上有1个公共点．

②当e2－a≥e2，即a≤0时，

F(x)在区间(0，e2]上是增函数，F(x)max＝F(e2)＝.

若F(x)max＝F(e2)＝≥0，即－1≤a≤0时，

函数f(x)的图象与函数g(x)的图象在区间(0，e2]上只有1个公共点；

若F(x)max＝F(e2)＝<0，即a<－1时，

函数f(x)的图象与函数g(x)的图象在区间(0，e2]上没有公共点．

综上，满足条件的实数a的取值范围是[－1，＋∞)．

（22）（本小题满分10分）

在直角坐标系
中，直线
:x=
,圆
：
，以坐标原点为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系。

（1）求
，C2的极坐标方程。

（2）若直线C3的极坐标为
=
（ρ
R）,设C2与C3的交点为M，N,求△C2MN的面积

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