2016届高三六校第一次联考

文科数学试题

命题学校：珠海一中 2015，9，7

本试题共4页，第1至21题为必做题，从第22、23、24三个小题中选做一题，

满分150分，考试用时120分钟。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{2,3,4}，B＝{1,4}，则(?UA)∪B为(　　)

A．{1} B．{1,5} C．{1,4} D．{1,4,5}[:.]

2．若
是
的共轭复数，且满足
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

3．已知命题
，则“
是真命题”是“
为假命题”的（ ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4．设等比数列
的公比
，前
项和为
，则
( )

A．5 B．7 C．8 D．15

5．下列四个函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上为增函数的是( )

A．
B．
C．
D．

6．已知双曲线的渐近线方程为
，焦点坐标为
，则双曲线方程为（ ）

A．
B．
C．
D．

7．函数
相邻两个对称中心的距离为
，以下哪个区间是函数
的单调减区间（ ）

A．
B．
C．
D．

8．曲线
在点
处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积是( )

A．
B．
C．
D．

9．在边长为2的正方体内部随机取一个点，则该点到正方体8个顶点的距离都不小于1的概率为（ ）

A．
B．
C．
D．

10．一个空间几何体的三视图如下图，其中正视图是边长为2的正三角形，俯视图是边长分别为1,2的矩形，则该几何体的侧面积为（ ）

A．
B．
C．
D．

11．执行如右图所示的程序框图，若输出的n＝9，则输入的整数p的最小值是(　　)

A．50 B．77 C．78 D．306

12．已知抛物线
上一定点B(1，1)和两个动点P、Q，当P在抛物线上运动时，BP⊥PQ，则Q点的纵坐标的取值范围是( )

A．
B．

C．
D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分。

13．已知平面向量
，
，且
，则

14．已知等差数列
满足
，则
________

15．设变量x，y满足约束条件
，则
的最小值为_______

16．已知定义在
上的偶函数满足：
，且当
时，
单调递减，给出以下四个命题：

①
；②
为函数
图象的一条对称轴；③
在
单调递增；④若方程
在
上的两根为
、
，则

以上命题中所有正确命题的序号为___________

三、解答题：

第17到21题为必做题，从第22、23、24三个小题中选做一题，满分70分。

17.（本小题满分12分）

已知
的三内角
，所对三边分别为
，且

（1）求
的值；

（2）若
的面积
求
的值。

18．（本小题满分12分）

2015年7月16日，电影《捉妖记》上映，上映至今全国累计票房已超过20亿。某影院为了解观看此部电影的观众年龄的情况，在某场次的100名观众中随机调查了20名观众，已知抽到的观众年龄可分成5组：
，
，
，
，
，根据调查结果得出年龄情况残缺的频率分布直方图如下图所示。

（1）根据已知条件，补充画完整频率分布直方图，并估计该电影院观看此部电影的观众年龄的平均数；

（2）现在从年龄属于
和
的两组中随机抽取2人，求他们属于同一年龄组的概率。

19．（本小题满分12分）

如图所示的长方体
中，底面
是边长为
的正方形，
为
与
的交点，
，
为线段
的中点。

（1）求证：
平面
；

（2）求三棱锥
的体积。

20．（本小题满分12分）

已知函数
经过点
，且在该点处的切线与
轴平行

（1）求
的值；

（2）若
，其中
，讨论函数
的单调区间。

21.（本小题满分12分）

已知椭圆
＞
＞
的离心率为
，以坐标原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线
相切。

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）设点
，
是椭圆C上关于
轴对称的任意两个不同的点，连结
交椭圆
于另一点
，证明：直线
与
轴相交于定点。

请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号。

22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

已知
中,
,
是
外接圆劣弧
上的点(不与点
重合),延长
至
。

（1）求证:
的延长线平分
；

（2）若
,
中
边上的高为
,求
外接圆的面积。

23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点
处,极轴与
轴的正半轴重合,且长度单位相同。直线
的极坐标方程为:
,点
,参数
。

（1）求点
轨迹的直角坐标方程；

（2）求点
到直线
距离的最大值。

24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

设函数
,其中
。

（1）当
时，求不等式
的解集；

（2）若不等式
的解集为
，求
的值。

2016届高三六校第一次联考

文科数学试题参考答案及评分标准

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



D

B

A

B

D

C

C

A

D

A

C

B





二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分。

13．(-2,1) 14．3 15．
16．①②④

12．解析：设
，
∵BP⊥PQ,∴
,

即

即

∵t∈R,∴必须有
.即
,

解得

答案：(－∞,－1
∪
3,+∞)

17．解：

（1）∵
，∴
，……2分

∴
………………………………………………3分

与
联立方程

∴
或
，……………………………5分

∴
………………………………………………………6分

（2）
得
…………………………………………8分

∴

∴
………………………………………………………………12分

18．解析：(1) 补充完成的频率分布直方图如下：

……………………3分

估计该电影院观看此部电影的观众年龄的平均数为

………………5分

……………………………………………………………………………6分

(2) 年龄属于
和
的分别有4人，2人，………………………8分

分别记为A1，A2，A3，A4，B1，B2

则从中随机抽取两人的所有可能情况有 (A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，A4)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A4，B1)，(A4，B2)，(B1，B2)，共15种，………………………10分

其中，两人属于同一年龄组的有(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A3，A4)，(B1，B2)共7种， ………………………………………………………11分

∴ 所求的概率为
． ………………………………………………………12分

19． 解:（1）连接
，如图，∵
、
分别是
、
的中点，四边形
是矩形，

∴四边形
是平行四边形，

∴
． …………………………2分

∵
平面
，
平面
，

∴
平面
．………………………… 4分

（2）连接
，∵正方形
的边长为
，
，

∴
，
，
，

则
，∴
． …………………………………………6分

∵在长方体
中，
，
，

∴
平面
，又
平面
，

∴
，又
，（法二：由
，
是
中点，得
）

∴
平面
． …………………………………………10分

……………………………12分

20．解：(1)
经过点
，
……………………………1分

，
，

由条件
，
……………………………………4分

(2)由(1)
，导函数

①当
时，
递减；

递增；

递减…………………………8分

②当
时，
递增；

递减；………………………10分

③当
时，
递减………………………………………11分

综上：①当
时，
递减区间为
和
，递增区间为
；

②当
时，
递减区间为
，
递增区间为
；

③当
时，
递减区间为
…………………………………………12分

函数图像如右图所示

21．解：(1)由题意知
，
，即
……………2分

又
圆心
到直线
的距离为
，

，故椭圆的方程为
……………………………………………4分

（2）由题意知直线
的斜率存在，设直线
的方程为

联立
，得
①………………………6分

设点
，则
，直线
的方程为

令
，得
，………………………………………………………8分

再将
代入

整理得
②………………………………………………………10分

由①得
，

代入②整理得
，

所以直线
与
轴相交于定点
………………………………………………………12分

22.解:(1)证明:如图,设F为AD延长线上一点,∵A?B?C?D四点共圆.

∴∠CDF=∠ABC,

又AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,且∠ADB=∠ACB,

∴∠ADB=∠CDF,

对顶角∠EDF=∠ADB,故∠EDF=∠CDF,

即AD的延长线平分∠CDE,……………………………………………………4分

(2)设O为外接圆圆心,连接AO交BC于H,

∵△ABO
△ACO, ∴∠BAO=∠CAO,

即AO为等腰三角形△ABC中∠BAC的角平分线，则AH⊥BC, ……………6分

连接OC,由题意∠OAC=∠OCA=15°,∠A