启东中学2015～2016学年度第一学期第一次阶段测试

高三数学试题

命题人：俞向阳

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．

1．已知集合
，
，则
．

2．命题“
，
”的否定是 ．

3．在
和
中间插入3个实数
，
，
，使这5个数成等比数列，则
．

4．已知
，
，则
．

5．函数
在区间
上的零点个数为 ．

6．已知定义在
上的函数
的值域为
，则
的单调增区间为 ．

7．函数
在区间
上的最大值与最小值之和是 ．

8．等差数列
的前
项的和为30，前
项的和为100，求它的前
项的和为 ．

9．若
、
均为锐角，且
，
，则
．

10．函数
是
上的奇函数，满足
，当
时，
，则

．

11．如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“互为生成”函数，给出下列函数：

⑴
；⑵
；⑶
；⑷
；⑸
，其中“互为生成”函数的有 ．（请填写序号）

12．已知
是单位圆
的内接三角形，
是圆的直径，若满足
，

则
．

13．已知直线
与曲线
和曲线
均相切，则这样的直线
的条数为 ．

14．已知数列
满足
，且
，
，则
．

二、解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15． (本小题满分14分)

已知集合
，
．

⑴若
，求
；

⑵若
，求实数
的取值范围．

16．(本小题满分14分)

已知
中，角
、
、
所对的边分别为
、
、
，满足
．

⑴求角
的值；

⑵若
，
，
成等差数列，试判断
的形状．

17．(本小题满分14分)

已知向量
，
，
满足
，且
与
的夹角等于
，
与
的夹角等于
，

，求
，
．

18．(本小题满分16分)

设
是等比数列
的前
项和，
，
，
成等差数列．

⑴设此等比数列的公比为
，求
的值；

⑵问：数列中是否存在不同的三项
，
，
成等差数列？若存在，求出
，
，
满足

的条件；若不存在，请说明理由．

19．(本小题满分16分)

已知各项均为正数的数列
的前
项和为
，满足：
(其中

为常数)．

⑴若
，
，数列
是等差数列，求
的值；

⑵若数列
是等比数列，求证：
．

20．(本小题满分16分)

已知函数
(其中
是自然对数的底数)，
，
．

⑴记函数
，当
时，求
的单调区间；

⑵若对于任意的
，
，
，均有
成立，求实数

的取值范围．

江苏省启东中学2015～2016学年度第一学期第一次阶段测试

高三数学试题参考答案

一、填空题

1．
； 2．
，
； 3．27； 4．
；

5．1； 6．
（
也对）； 7．16； 8．210；

9．
； 10．
； 11．⑴⑵⑸； 12．2； 13．1； 14．2029105/2．

二、解答题

15．解：由题意知，
；

⑴当
时，
，

； …………………………………………………………6分

⑵
，
；

①当
时，
，不符合题意； …………………………………………………8分

②当
时，
，由
得：
； ………………………………………11分

③当
时，
，此时
，不符合题意；

综上所述，实数
的取值范围为
． …………………………………………14分

16．解：⑴由正弦定理，得：
，

整理，得：
， ………………………………………………………4分

由余弦定理，得：
，

是
的内角，
； ………………………………………………………7分

⑵

，
，
成等差数列，
，

由⑴可知，
，

，整理，得：
，…………………………………12分

由
，得
，
，

是等边三角形．……………………………………………………………14分

（注：本题第二小问可以用角的化简来处理）

17．解：由
得：
， ………………………5分

， …………………………………………10分

解之，得：
，
． …………………………………………14分

（注：本题可先判断
，或利用平行四边形法则或三角形法则来做）

18．解：⑴

，
，
成等差数列，
，

，

即
， …………………………………4分

， …………………………………………6分

，
；………………………………………8分

⑵存在不同的三项
，
，
成等差数列． ………………………………………10分

，
，
；……………………………12分

一般地，当
，且
时，有
，
，
成等差数列． …………16分

（注：若利用等比数列求和公式，则必须讨论公比
是否等于1，不讨论者扣3分）

19．解：⑴由题意知，
，

，

两式相减，得：
， …………………………2分

整理，得：
，

，
， …………………………………………4分

数列
是等差数列，
， …………………………………………6分

由
得：
，
，

，
； ……………………………………………………8分

⑵由
得
，

两式相减，得：
， ………………………………10分

设等比数列
的公比为
，

，

，由已知，可知
，…………………………………12分

，
不是常数列，
； ………………………………………14分

，而
且
，
，

． ………………………………………………………………………………16分

20．解：⑴
，
，

得
或
， ……………………………………………………………2分

列表如下：（
，
）































极大值



极小值







……………………………………………………………………………………4分

的单调增区间为：
，
，减区间为
； ……………6分

⑵设
，
是单调增函数，
，

；………8分

①由
得：
，

即函数
在
上单调递增，

在
上恒成立，

在
上恒成立；

令
，
，

时，
；
时，
；

，

； …………………………………………………………12分

②由
得：
，

即函数
在
上单调递增，

在
上恒成立，