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当前位置:第六节 平方差公式
作者：未知来源：中央电教馆时间：2006/4/8 18:03:13阅读：nyq
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学习乘法公式应注意的问题
乘法公式是初中数学中的重要公式之一，应用也很广泛．但要真正学好它，必须注意以下几点：
一、注意掌握公式的特征，认清公式中的“两数”．
例1 计算(-2x2-5)(2x2-5)
分析：本题两个因式中“-5”相同，“2x2”符号相反，因而“-5”是公式(a+b)(a-b)=a2-b2中的a，而“2x2”则是公式中的b．
解：原式=(-5-2x2)(-5+2x2)
=(-5)2-(2x2)2=25-4x4．
例2 计算(-a2+4b)2
分析：运用公式(a+b)2=a2+2ab+b2时，“-a2”就是公式中的a，“4b”就是公式中的b；若将题目变形为(4b-a2)2时，则“4b”是公式中的a，而“a2”就是公式中的b．（解略）
二、注意为使用公式创造条件
例3 计算(2x+y-z+5)(2x-y+z+5)．
分析：粗看不能运用公式计算，但注意观察，两个因式中的“2x”、“5”两项同号，“y”、“z”两项异号，因而，可运用添括号的技巧使原式变形为符合平方差公式的形式．
解：原式=〔(2x+5)+(y-z)〕〔(2x+5)-(y-z)〕
=(2x+5)2-(y-z)2
=4x2+20x+25-y+2yz-z2．
例4 计算(a-1)2(a2+a+1)2(a6+a3+1)2
分析：若先用完全平方公式展开，运算十分繁冗，但注意逆用幂的运算法则，则可利用乘法公式，使运算简便．
解：原式=[(a-1)(a2+a+1)(a6+a3+1)]2
=[(a3-1)(a6+a3+1)]2
=(a9-1)2=a18-2a9+1
例5 计算(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)．
分析：此题乍看无公式可用，“硬乘”太繁，但若添上一项（2-1），则可运用公式，使问题化繁为简．
解：原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)
=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)
=(24-1)(24+1)(28+1)
=（28-1）（28+1）
=216-1
三、注意公式的推广
计算多项式的平方，由(a+b)2=a2+2ab+b2，可推广得到：
(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．
可叙述为：多项式的平方，等于各项的平方和，加上每两项乘积的2倍．
例6 计算(2x+y-3)2
解：原式=(2x)2+y2+(-3)2+2·2x·y+2·2x(-3)+2·y(-3)
=4x2+y2+9+4xy-12x-6y．
四、注意公式的变换，灵活运用变形公式
例7 (1)已知x+y=10，x3+y3=100，求x2+y2的值；
(2)已知：x+2y=7，xy=6，求(x-2y)2的值．
分析：粗看似乎无从下手，但注意到乘法公式的下列变形：x2+y2=(x+y)2-2xy，x3+y3=(x+y)3-3xy(x+y)，(x+y)2-(x-y)2=4xy，问题则十分简单．
解：(1)∵x3+y3=(x+y)3-3xy(x+y)，将已知条件代入得100=103-3xy·10，
∴xy=30
故x2+y2=(x+y)2-2xy=102-2×30=40．
(2)(x-2y)2=(x+2y)2-8xy=72-8×6=1．
例8 计算(a+b+c)2+(a+b-c)2+(a-b+c)+(b-a+c)2．
分析：直接展开，运算较繁，但注意到由和及差的完全平方公式可变换出(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2)，因而问题容易解决．
解：原式=[(a+b)+c]2+[(a+b)-c]2+[c+(a-b)]2+[c-(a-b)]2
=2[(a+b)2+c2]+2[c2+(a-b)2]
=2[(a+b)2+(a-b)2]+4c2
=4a2+4b2+4c2
五、注意乘法公式的逆运用
例9 计算(a-2b+3c)2-(a+2b-3c)2．
分析：若按完全平方公式展开，再相减，运算繁杂，但逆用平方差公式，则能使运算简便得多．
解：原式=[(a-2b+3c)+(a+2b-3c)][(a-2b+3c)-(a+2b-3c)]
=2a(-4b+6c)=-8ab+12ac．
例10 计算(2a+3b)2-2(2a+3b)(5b-4a)+(4a-5b)2
分析：此题可以利用乘法公式和多项式的乘法展开后计算，但逆用完全平方公式，则运算更为简便．
解：原式=(2a+3b)2+2(2a+3b)(4a-5b)+(4a-5b)2
=[(2a+3b)+(4a-5b)]2
=(6a-2b)2=36a2-24ab+4b2．
(何东林)