第六节 平方差公式

教学设计示例

　　教学目标

　　1．使学生理解和掌握平方差公式，并会用公式进行计算；

　　2．注意培养学生分析、综合和抽象、概括以及运算能力．

　　教学重点和难点

　　重点：平方差公式的应用．

　　难点：用公式的结构特征判断题目能否使用公式．

　　教学过程设计

　　一、师生共同研究平方差公式

　　我们已经学过了多项式的乘法，两个二项式相乘，在合并同类项前应该有几项？合并同类项以后，积可能会是三项吗？积可能是二项吗？请举出例子．

　　让学生动脑、动笔进行探讨，并发表自己的见解．教师根据学生的回答，引导学生进一步思考：

　　两个二项式相乘，乘式具备什么特征时，积才会是二项式？为什么具备这些特点的两个二项式相乘，积会是两项呢？而它们的积又有什么特征？

　　(当乘式是两个数之和以及这两个数之差相乘时，积是二项式．这是因为具备这样特点的两个二项式相乘，积的四项中，会出现互为相反数的两项，合并这两项的结果为零，于是就剩下两项了．而它们的积等于乘式中这两个数的平方差)

　　继而指出，在多项式的乘法中，对于某些特殊形式的多项式相乘，我们把它写成公式，并加以熟记，以便遇到类似形式的多项式相乘时就可以直接运用公式进行计算．以后经常遇到(a+b)(a-b)这种乘法，所以把(a+b)(a-b)=a²-b²作为公式，叫做乘法的平方差公式．

　　在此基础上，让学生用语言叙述公式．

　　二、运用举例  变式练习

　　例1  计算(1+2x)(1-2x)．

　　解：(1+2x)(1-2x)

　　=1²-(2x)²

　　=1-4x²．

　　教师引导学生分析题目条件是否符合平方差公式特征，并让学生说出本题中a，b分别表示什么．

　　例2  计算(b²+2a³)(2a³-b²)．

　　解：(b²+2a³)(2a³-b²)

　　＝(2a³+b²)(2a³-b²)

　　＝(2a³)²-(b²)²

　　＝4a⁶-b⁴．

　　教师引导学生发现，只需将(b²+2a³)中的两项交换位置，就可用平方差公式进行计算．

　　课堂练习

　　运用平方差公式计算：

　　(l)(x+a)(x-a)；　　　　(2)(m+n)(m-n)；

　　(3)(a+3b)(a-3b)；　　　(4)(1-5y)(l+5y)．

　　例3  计算(-4a-1)(-4a+1)．

　　让学生在练习本上计算，教师巡视学生解题情况，让采用不同解法的两个学生进行板演．

　　解法1：(-4a-1)(-4a+1)

　　=[-(4a+l)][-(4a-l)]

　　=(4a+1)(4a-l)

　　=(4a)²-l²

　　=16a²-1．

　　解法2：(-4a-l)(-4a+l)

　　=(-4a)²-l

　　=16a²-1．

　　根据学生板演，教师指出两种解法都很正确，解法1先用了提出负号的办法，使两乘式首项都变成正的，而后看出两数的和与这两数的差相乘的形式，应用平方差公式，写出结果．解法2把-4a看成一个数，把1看成另一个数，直接写出(-4a)²-l²后得出结果．采用解法2的同学比较注意平方差公式的特征，能看到问题的本质，运算简捷．因此，我们在计算中，先要分析题目的数字特征，然后正确应用平方差公式，就能比较简捷地得到答案．

　　课堂练习

　　1．口答下列各题：

　　(l)(-a+b)(a+b)；　　　　(2)(a-b)(b+a)；

　　(3)(-a-b)(-a+b)；　　　　(4)(a-b)(-a-b)．

　　2．计算下列各题：

　　(1)(4x-5y)(4x+5y)；　　(2)(-2x²+5)(-2x²-5)；

　　

　　教师巡视学生练习情况，请不同解法的学生，或发生错误的学生板演，教师和学生一起分析解法．

　　三、小结

　　1．什么是平方差公式？

　　2．运用公式要注意什么？

　　(1)要符合公式特征才能运用平方差公式；

　　(2)有些式子表面不能应用公式，但实质能应用公式，要注意变形．

　　四、作业

　　1．运用平方差公式计算：

　　(l)(x+2y)(x-2y)；　　　　　　(2)(2a-3b)(3b+2a)；

　　(3)(-1+3x)(-1-3x)；　　　　　(4)(-2b-5)(2b-5)；

　　(5)(2x³+15)(2x3-15)；　　　　(6)(0.3x-0.l)(0.3x+l)；
　　

　　2．计算：

　　(1)(x+y)(x-y)+(2x+y)(2x+y)；　(2)(2a-b)(2a+b)-(2b-3a)(3a+2b)；

　　(3)x(x-3)-(x+7)(x-7)；　　　　(4)(2x-5)(x-2)+(3x-4)(3x+4)．

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