第一节 整式
典型例题
例1 下列代数式中,哪些是单项式,哪些是多项式?
,,,,,,,,,.
解:单项式有:,,,
多项式有:,,,.
说明:不是单项式,因为单项式只含有乘法运算或数字作除数的除法运算.可写成,因此是多项式.
例2 指出下列各单项式的系数和次数:
,,,,.
解:的系数是,次数是2;
的系数是,次数是3次;
的系数是1,次数是1次;
的系数是1,次数是1次;
的系数是,次数是7次;
说明: 的次数是1而不是0次,是一个分数,是一个无限不循环的分数,、都是数字因数,所以是单项式的系数.
例3 下列多项式各是几次几项式,分别写出各多项式的项.
(1); (2)
(3); (4);
(5); (6)
解:(1)是三次二项式,它的项分别是:,-1;
(2)是二次三项式,它的项分别;
(3)是三次四项式,它的项分别是:;
(4)是四次二项式,它的项分别是:,;
(5)是三次二项式,它的项分别是:1,;
(6)是六次三项式,它的项分别是:,,.
说明: 确定多项式的项及其系数时应包括它前面的符号.比如(3)题各项分别是,,,,而不是,,,.
例4 把多项式.
(1)按字母的降幂排列; (2)按字母的升幂排列.
解:(1)
(2).
说明: ①不含有,视为常数项,因此是关于的最低次项;类似地是关于的最低次项.②多项式中的项是包括它前面的符号的,变更项的位置时连同它前面的符号一起移动.如果原来的第一项省略性质符号“+”,移到后面时就应补上“+”号,如果原来中间项移到第一项而性质符号是“+”也可省略“+”,但性质符号“-”不能省略.含有两个(或多个)字母的多项式,按某一字母排列时,只按这个字母的指数排列,没有这个字母的项,若按降幂排列,则排在最后一项,若按升幂排列排在最前面一项.
典型例题
例1(1)求单项式 、 、 、 的和;
(2)求单项式 、 、 的和与 的差。
解:(1) (列式)
(去括号)
;(合并同类项)
(2) (列式)
(去小括号)
(合并同类项)
(去中括号)
(合并同类项)
说明:求若干个单项式和与差的步骤,一般有列式,去括号,合并同类项三步,要注意每一步运算的根据,做到步步有理有据,以保证运算的正确性。
例2(1) 求多项式 与 的和;
(2) 求多项式 与 的差。
解:(1) ( )+( )
;
(2) ( )-( )
说明:本题是求两个多项式的和与差,列式时都要添上括号,把每个多项式分别括起来,再用加减连接;运算时,按去括号法则,先去掉括号,再合并同类项。
例3计算:
(1) ;
(2)
分析:由于题中有多重括号,所以要依次去括号,边去括号边合并同类项,以简便运算。
解:(1)
;
(2)
说明:有多重括号时,一般先从内层括号开始,先去掉小括号,合并同类项;再去中括号,合并同类项;最后去大括号,合并同类项。一层一层地去括号不会发生混乱,去括号时一定要注意符号的变号。
例4先化简再求值.
(1) ,其中 ;
(2) ,其中 .
分析:此题所含的项较多,如果直接代入数值求解比较麻烦,因此要求先化简,即先去括号,合并同类项,然后再代入求值.
解:(1)
当 时,
原式
;
(2)
当 时,
原式
说明:当把字母的指定数值代入化简后代数式时,要适当添上括号,如式 中, 用 代替时, 就是 ,若不写括号会发生错误.求值时,要注意式中的同一字母必须用同一数值去代替,式中原有的数字和运算符号都不能改变.
例5(1) 已知: ,求 的值.
(2) 已知: ,求 的值.
分析:(1) 题中没有直接给出 、 的值,由非负数 、 和非负数的性质可以知道, ,由此可求出 、 的值,然后把 、 代入化简后的整式求值.
(2) 题可以采用类似的分析方法进行求解.
解:(1) ∵
∴
∴
当 时,
原式
(2) ∵
∴
∴
原式
当 时,
原式
说明:(2) 题中整式里隐含着 ,由题目的条件可知 ,那么把 当作一个整体用0代入进行计算会更简便些,如第一个括号内的 的系数都是偶数,容易化成 的形式,即 .第二个括号 可变为 的形式, 可以添括号看作一个整体,即 ,这样无需求出 的值就可以求出整式的值.
(2) 另解:
∵
∴
即
当 时,
原式