第一节 整式　

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正确使用a×b，a·b，ab

　　初中数学在首次引用“a·b”和“ab”时，特别指出：“在不引起误会的时候，乘号可以用‘·’，或者省略不写(见初中代数第一册第37页，人民教育出版社)，也就是说a×b，a·b和ab在不引起误会的时候是等价的，但有时也会引起误会，产生错误．

　　1．在使用计算器(机)时，只有“×”乘，没有“·”乘．

　　在初等数学中点乘与叉乘是等价的，但计算器(机)只“认识”叉乘“×”，而对“·”的“理解”只是小数点．宁波市96年中考是试用浙江省编九年制义务教育教材后的首次中考，该教材纳入了计算器的使用．试题中第一题第4小题是：用计算器计算：

　　本题在考生中引起了不小的误会，很多考生把 误认为“乘”了．在北仑区考生试卷中随机抽取150份样卷．结果有67人得-1，占44．7％．

　　2．在进行数字运算时，不可省略乘号．

　　如a=3，b=5时a×b=3×5=3·5=15，而ab很容易误为35．

　　3．在有除法运算时，不可以随意省略或添加乘号“×”或“·”．

　　在数式的运算中a×b和a·b只表示运算，即a乘以b的运算，而ab表a乘以b的积，是运算后的结果．对算式12a³b²x³÷3ab²(见初中代数第二册第80页，人民教育出版社)，教材中作了说明：“这个式子就是(12a³b²x³)÷(3ab²)的意思”．也就是说3ab²是单项式，是运算后的结果，而不是乘法运算3×a×b²省略了“×”号，所以对于式中的3ab²不能添加“·”或“×”号．

　　而对算式4a^-1b³÷3^-1·a²·b^-2(见北京师大附属实验中学编《初中总复习自学指导》P142．1(3)，中国和平出版社)不能省略“·”，应按初等运算顺序计算：原式=12a^-1b³·a²·b^-2=12ab．而原书给出的答案是12a^-3b⁵，显然是由于“误会”把“·”省略了而导致错误．

　　(安凤吉)

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分离系数法

　　把多项式的各个加式，其中减式改变符号后变为加式，按x的降幂排列后，只写出各项的系数，缺项补上系数0，用竖式进行加减，这种方法称为分离系数法．

　　如(x⁵+3x³+6x²+8x-9)+(14+x²+2x³-3x⁴+6x⁵)-(5x³+x⁴+6x⁵-x+4)用分离系数法计算：

　　解：原式=(x⁵+3x³+6x²+8x-9)+(6x⁵-3x⁴+2x³+x²+14)+(-6x⁵-x⁴-5x³+x-4)

　　　　

　　原式的最高次项的次数是5，竖式又是按x的降幂排列，得到计算结果是

　　　　x⁵-4x⁴+7x²+9x+1．

　　例1 用分离系数法计算：

　　(1)(x⁵+4x⁴+8x²+18x+9)+(14+2x+12x³-3x⁴+8x⁵)+(-5x³-7x⁴-6x⁵+2x²-14)；

　　(2)(3x²-6x+x³+1)+(5x-4x²+3)-(x-3+2x³+x²)；

　　(3)(5x²-7xy-11y²)+(9x²+25xy-2y²)+(14x²+8xy-13y²)；

　　(4)(b⁶-a³b³-a⁶)+(3a⁵b+4a²b⁴+2a⁶)+(ab⁵-2a⁵b+a⁴b²+2a³b³-3a²b⁴)．

　　解：(1)原式=(x⁵+4x⁴+8x²+18x+9)+(8x⁵-3x⁴+12x³+2x+14)+(-6x⁵-7x⁴-5x³+2x²-14)

　　　　

　　所以，原式=3x⁵-6x⁴+7x³+10x²+20x+9；

　　(2)原式=(x³+3x²-6x+1)十(-4x²+5x+³)+(-2x³-x²-x+3)

　　　　

　　所以，原式=-x³-2x²-2x+7；

　　(3)原式=(5x²-7xy-11y²)+(9x²+25xy-2y²)+(14x²+8xy-13y²)

　　　　

　　所以，原式=28x²+26xy-26y²；

　　(4)原式=(-a⁶-a³b3+b⁶)+(2a⁶+3a⁵b+4a²b⁴)+(-2a⁵b+a⁴b²+2a³b³-3a³b⁴+ab⁵)

　　　　

　　所以，原式=a⁶+a⁵b+a⁴b²+a³b³+a²b⁴+ab⁵+b⁶．

　　例2 用分离系数法计算：

　　(1)(21a²+5a-3b+21ab+2b²-3)+(a²-b²+2-3a+5ab)+(19a-ab+a²-5b²+3)+(a+b-a²+3b²)+(2-10a²+15ab-12b²)；

　　(2)(108c²+15ab-2ac+13a+21b-36)-(5a+2b-10c²+3)-(a+c²-15b)-(21c²+5ab-2ac)-(2ac+5c²-3ab+a-10)；

　　

　　(4)(7ab+6a²b+4a³-9b³)+(-2a³+4a²b-ab³-4b³)+(8ab²-10a²b+6a³+10b³)．

　　解：(1)原式=(21a²+21ab+2b²+5a-3b-3)+(a²+5ab-b²-3a+2)+(a²-ab-5b²+19a+3)

　　　　+(-a²+3b²+a+b)+(-10a²+15ab-12b²+2)；

　　　　

　　所以，原式=12a²+40ab-13b²+22a-2b+4；

　　(2)原式=(108c²-2ac+15ab+13a+21b-36)+(10c²-5a-2b-3)+(－c²-a+15b)+

　　(21c²+2ac-5ab)+(-5c²-2ac+3ab-a+10)；

　　　　

　　所以，原式=91c²-2ac+13ab+6a+34b－29；

　　 　

　　　　

　　　 　

　　(4)原式=(4a³+6a²b+7ab－9b³)+(-2a³+4a²b－ab²-4b³)+(6a³-10a²b+8ab²+10b³)

　　　　

　　所以，原式=8a³+7ab²+7ab－3b³．

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