第五节平行线的判定

作者：未知来源：中央电教馆时间：2006/4/8 18:03:13阅读：nyq

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教学设计示例1

　　一、教学目标

　　1．了解推理、证明的格式，掌握平行线判定公理和第一个判定定理．

　　2．会用判定公理及第一个判定定理进行简单的推理论证．

　　3．通过模型演示，即“运动—变化”的数学思想方法的运用，培养学生的“观察—分析”和“归纳—总结”的能力．

　　二、学法引导

　　1．教师教法：启发式引导发现法．

　　2．学生学法：独立思考，主动发现．

　　三、重点·难点及解决办法

　　（一）重点

　　在观察实验的基础上进行公理的概括与定理的推导．

　　（二）难点

　　判定定理的形成过程中逻辑推理及书写格式．

　　（三）解决办法

　　1．通过观察实验，巧妙设问，解决重点．

　　2．通过引导正确思维，严格展示推理书写格式，明确方法来解决难点、疑点．

　　四、课时安排

　　l课时

　　五、教具学具准备

　　三角板、投影胶片、投影仪、计算机．

　　六、师生互动活动设计

　　1．通过两组题，复习旧知，引入新知．

　　2．通过实验观察，引导思维，概括出公理及定理的推导，并以练习进行巩固．

　　3．通过教师提问，学生回答完成归纳小结．

　　七、教学步骤

　　（－）明确目标

　　掌握平行线判定公理和第一个判定定理及运用其进行简单的推理论证．

　　（二）整体感知

　　以情境设计，引出课题，以模型演示，引导学生观察，、分析、总结，讲授新知，以变式训练巩固新知，在整节课中，较充分地体现了逻辑推理．

　　（三）教学过程

　　创设情境，引出课题

　　师：上节课我们学习了平行线、平行公理及推论，请同学们判断下列语句是否正确，并说明理由（出示投影）．

　　1．两条直线不相交，就叫平行线．

　　2．与一条直线平行的直线只有一条．

　　3．如果直线、都和平行，那么、就平行．

　　学生活动：学生口答上述三个问题．

　　【教法说明】通过三个判断题，使学生回顾上节所学知识，第1题在于强化平行线定义的前提条件“在同一平面内”，第2题不仅回顾平行公理，同时使学生认识学习几何，语言一定要准确、规范，同一问题在不同条件下，就有不同的结论，第3题复习巩固平行公理推论的同时提示学生，它也是判定两条直线平行的方法．

　　师：测得两条直线相交，所成角中的一个是直角，能判定这两条直线垂直吗？根据什么？

　　学生：能判定垂直，根据垂直的定义．

　　师：在同一平面内不相交的两条直线是平行线，你有办法测定两条直线是平行线吗？

　　学生活动：学生思考，如何测定两条直线是否平行？

　　教师在学生思考未得结论的情况下，指出不能直接利用手行线的定义来测定两条直线是否平行，必须找其他可以测定的方法，有什么方法呢？

　　学生活动：学生思考，在前面复习平行公理推论的情况下，有的学生会提出，再作一条直线，让，再看是否平行于就可以了．

　　师：这种想法很好，那么，如何作，使它与平行？若作出后，又如何判断是否与平行？

　　学生活动：学生思考老师的提问，意识到刚才的回答，似是而非，不能解决问题．

　　师：显然，我们的问题没有得到解决，为此我们来寻找另外一些判定方法，就是今天我们要学习的平行线的判定（板书课题）．

　　［板书］2.5平行线的判定（1）．

　　【教法说明】由垂线定义可以来判断两线是否垂直，学生自然想到要用平行线定义来判断，但我们无法测定直线是否不相交，也就不能利用定义来判断．这时，学生会考虑平行公理推论，此时教师只须简单地追问，就让学生弄清问题未能解决，由此引入新课内容．

　　探究新知，讲授新课

　　教师给出像课本第78页图2–20那样的两条直线被第三条直线所截的模型，转动，让学生观察，转动到不同位置时，的大小有无变化，再让从小变大，说出直线与的位置关系变化规律．

　　【教法说明】让学生充分观察，在教师的启发式提问下，分析、思考、总结出结论．

图1

　　学生活动：转动到不同位置时，也随着变化，当从小变大时，直线从原来在右边与直线相交，变到在左边与相交．

　　师：在这个过程中，存在一个与不相交即与平行的位置，那么多大时，直线呢？也就是说，我们若判定两条直线平行，需要找角的关系．

　　师：下面先请同学们回忆平行线的画法，过直线外一点画的平行线．

　　学生活动：学生在练习本上完成，教师在黑板上演示（见图1）．

　　师：由刚才的演示，请同学们考虑，画平行线的过程，实际上是保证了什么？

图2

　　学生：保证了两个同位角相等．

　　师：由此你能得到什么猜想？

　　学生：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两条直线平行．

　　师：我们的猜想正确吗？会不会有某一特定的时刻，即使同位角不等，而两条直线也平行呢？

　　教师用计算机演示运动变化过程．在观察实验之前，让学生看清角和角（如图2），而后开始实验，让学生充分观察并讨论能得出什么结论．

　　学生活动：学生观察、讨论、分析．

　　总结了，当时，不平行，而无论取何值，只要，、就平行．

　　图3

　　教师引导学生自己表达出结论，并告诉学生这个结论称为平行线的判定公理．

　　［板书］两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．

　　简单说成：同位角相等，两直线平行．

　　即：∵ （已知见图3），

　　∴ （同位角相等，两直线平行）．

　　【教法说明】通过实际画图和用计算机演示运动—变化过程，让学生确信公理的正确．尝试反馈，巩固练习（出示投影）．

　　图4

　　1．如图4，，，吗？

　　2．，当时，就能使．

　　【教法说明】这两个题目旨在巩固所学的判定公理，对于第2题是已知结论，找出使它成立的题设，这是证明问题时应掌握的一种思考方法，要求学生逐步学会执因导果和执果索因的思考方法，教师在教学时要注意逐渐培养学生的这种数学思想．

　　（出示投影）

　　直线、被直线所截．

图5

　　1．见图5，如果，那么与有什么关系？

　　2．与有什么关系？

　　3．与是什么位置关系的一对角？

　　学生活动：学生观察，思考分析，给出答案：时，，与相等，与是内错角．

　　师：与满足什么条件，可以得到？为什么？

　　学生活动：，因为，通过等量代换可以得到．

　　师：时，你进而可以得到什么结论？

　　学生活动：．

　　师：由此你能总结出什么正确结论？

　　学生活动：内错角相等，两直线平行．

　　师：也就是说，我们得到了判定两直线平行的另一个方法：

　　［板书］两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．

　　简单说成：内错角相等，两直线平行．

　　【教法说明】通过教师的启发、引导式提问法，引导学生自己去发现角之间的关系，进而归纳总结出结论，主要采用探讨问题的方式，能够培养学生积极思考、善于动脑分析的良好学习习惯．

　　师：上面的推理过程，可以写成

　　∵ （已知），

　　（对顶角相等），

　　∴ ．

　　［∵ （已证）］，

　　∴ （同位角相等，两直线平行）．

　　【教法说明】这里的推理过程可以放手让学生试着说，这样才能使学生大胆尝试，培养他们勇于进取的精神．

　　教师指出：方括号内的“∵ ”，就是上面刚刚得到的“∴ ”，在这种情况下，方括号内这一步可以省略．

　　尝试反馈，巩固练习（出示投影）

　　1．如图1，直线、被直线所截．

　　（1）量得，，就可以判定，它的根据是什么？

　　（2）量得，，就可以判定，它的根据是什么？

　　2．如图2，是的延长线，量得．

　　（1）从，可以判定哪两条直线平行？它的根据是什么？

　　（2）从，可以判定哪两条直线平行？它的根据是什么？

图1　　　　　　　　　　　　图2

　　学生活动：学生口答．

　　【教法说明】这组题旨在巩固平行线的判定公理和判定方法的掌握，使学生熟悉并会用于解决简单的说理问题．

　　变式训练，培养能力

　　（出示投影）

　　1．如图3所示，由，可判断哪两条直线平行？由，可判断哪两条直线平行？

　　2．如图4，已知，，吗？为什么？

　

图3　　　　　　　　　图4

　　学生活动：学生思考后回答问题．教师给以指正并启发、引导得出答案．

　　【教法说明】这组题不仅让学生认识变式图形，加强识图能力，同时培养学生的发散思维，也就是培养学生从多角度、全方位考虑问题，从而得到一题多解．提高了学生的解题能力．

　　（四）总结扩展

　　2．结合判一定理的证明过程，熟悉表达推理证明的要求，初步了解推理证明的格式．

　　八、布置作业

　　课本第97页习题2.2Ａ组第4、5、6（1）（2）题．

　　作业答案

　　4．当时，就能使．

　　5．（1）从，推出，根据同位角相等，两直线平行．

　　（2）从，推出，根据内错角相等，两直线平行．

　　6．（1）可断定，根据同位角相等，两直线平行．

　　（2）可断定，根据内错角相等，两直线平行．

教学设计示例2

　　一、教学目标

　　1．了解推理、证明的格式，理解判定定理的证法．

　　2．掌握平行线的第二个判定定理，会用判定公理及定理进行简单的推理论证．

　　3．通过第二个判定定理的推导，培养学生分析问题、进行推理的能力．

　　4．使学生了解知识来源于实践，又服务于实践，只有学好文化知识，才有解决实际问题的本领，从而对学生进行学习目的的教育．

　　二、学法引导

　　1．教师教法：启发式引导发现法．

　　2．学生学法：积极参与、主动发现、发展思维．

　　三、重点·难点及解决办法

　　（一）重点

　　判定定理的推导和例题的解答．

　　（二）难点

　　使用符号语言进行推理．

　　（三）解决办法

　　1．通过教师正确引导，学生积极思维，发现定理，解决重点．

　　2．通过教师指导，学生自行完成推理过程，解决难点及疑点．

　　四、课时安排

　　1课时

　　五、教具学具准备

　　三角板、投影仪、自制胶片．

　　六、师生互动活动设计

　　1．通过设计练习，复习基础，创造情境，引入新课．

　　2．通过教师指导，学生探索新知，练习巩固，完成新授．

　　3．通过学生自己总结完成小结．

　　七、教学步骤

　　（一）明确目标

　　掌握平行线的第二个定理的推理，并能运用其进行简单的证明，培养学生的逻辑思维能力．

　　（二）整体感知

　　以情境创设，设计悬念，引出课题，以引导学生的思维，发现新知，以变式训练巩固新知．

　　（三）教学过程

　　创设情境，复习引入

　　师：上节课我们学习了平行线的判定公理和一种判定方法，根据所学看下面的问题（出示投影）．

　　1．如图1所示，直线、被直线所截，如果，那么，为什么？

　　2．如图2，如果，那么，为什么？

图1　　　　　　图2

　　3．如图3，直线、被直线所截．（1）如果，那么，为什么？

　　（2）如果，那么，为什么？

　　4．如图4，一个弯形管道的拐角，，这时管道、平行吗？

　
图3　　　　　　　　　　　　图4

　　学生活动：学生口答第1、2题．

　　师：你能说出有什么条件，就可以判定两条直线平行呢？

　　学生活动：由第l、2题，学生思考分析，只要有同位角相等或内错角相等，就可以判定两条直线平行．

　　教师将第3题图形画在黑板上．

　　学生活动：学生口答理由，同角的补角相等．

　　师：要求学生写出符号推理过程，并板书．

　　［板书］∵ （已知），

　　（邻补角定义），

　　∴ （同角的补角相等）．

　　（以备后面推导判定定理使用．）

　　【教法说明】本节课是前一节课的继续，是在前一节课的基础上进行学习的，所以通过第1、2两题复习上节课所学平行线判定的两个方法，使学生明确，只要有同位角相等或内错角相等，就可以判定两条直线平行．第3题是为推导本节到定定理做铺垫，即如果同旁内角互补，则可以推出同位角相等，也可以推出内错角相等，为定理的推理论证，分散了难点．

　　师：第4题是一个实际问题，题目中已知的两个角是什么位置关系角？

　　学生活动：同分内角．

　　师：它们有什么关系．

　　学生活动：互补．

　　师：这个问题就是知道同分内角互补了，那么两条直线是不是平行的呢？这就是这节课我们要研究的问题．

　　［板书］2.5　平行线的判定（2）

【教法说明】通过一个实际问题，引出本节所学问题，同时使学生了解几何知识和我们的实际生活是紧密相连的，要解决实际问题就要学习新知识，从而激发学生的学习兴趣．

　　探究新知，讲授新课

　　师：请同学们看复习提问中的第3题，我们知道了与互补，那么，由此你还可以推出什么？根据什么？

　　学生活动：学生思考、回答，还可以推出，这个推理的全过程就是：

　　∵ （已知），（邻补角定义），

　　∴ （同角的补角相等）．

　　∴ （同位角相等，两直线平行．）（教师再加上这一步即可）．

　　由此你能得到什么结论？

　　学生活动：学生思索后回答出，两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行（学生语言不规范，注意纠正）．

　　师：也就是说，我们又得到了一种平行线的判定方法，我们把它简单说成：

　　［板书］同旁内角互补，两直线平行．

　　【教法说明】由于复习引入第3题为定理的推导做好了铺垫，所以学生并不难接受推理过程，放手由学生总结出判定方法，注意培养学生的归纳总结能力，另外在叙述判定方法时，训练学生用准确、规范的几何语言．

　　师：请同学们思考，刚才我们由同旁内角互补，推导两条直线平行，除了上面的推理过程，有没有其他途径？怎样写推理格式？

　　学生活动：学生思考，对照复习提问第3题的第2问很快地找到另一种途径，并在练习本上写出推理格式，找一个学生在原来黑板上的板书基础上完成．

　　【教法说明】通过使用不同种方法的推理，不仅开拓学生思维，同时也能够让学生尽可能地使用推理，从而使学生掌握推理格式的书写．

　　尝试反过，巩固练习

　　师：有了这种判定方法，我们就可以由同旁内角互补，直接判定两条直线平行了，让我们回到复习提问的第4题，管道、平行吗？为什么？

　　学生活动：平行，因为同旁内角互补，两直线平行．

　　【教法说明】不仅解决了前面遗留的问题，同时巩固了所学新知识．

　　师：下面我们一起应用这种判定方法再来研究一些题目（出示投影）．

　　练习：

　　1．如图1，量得，，可以判定，它的根据是什么？

　
图1　　　　　　　图2

　　2．如图2，已知，与互补，可以判定哪两条直线平行？与哪个角互补，可以判定直线？

　　【教法说明】这组练习进一步对判定方法加以巩固，第2题的第2问是根据给出的结果，找它成立的条件，是执果索因，学生应该没有什么困难，教师不必多讲，但要注意第2问中出现答与互补这类错误时，要结合图形让学生弄清是哪两条直线被哪两条直线所截．

　　例题讲解

　　师：我们学习了三种平行线的判定方法，在具体题目中如何选择应用它们来解决问题呢？下面我们看例题（出示投影）．

　　例两条直线垂直于同一条直线，这两条直线平行吗？为什么？

　　师：这个题目相当于文字题，解答时应根据题意画出图形（如图3），同时为了叙述方便，还要在图形上标出需要的字母或符号．

图3

　　学生活动：学生分析题意，按所说画出相应的图形．

　　师：我们要判定两条直线是否平行，应先想什么？可以讨论．

　　学生活动：讨论后答出，先想学过哪些判定平行线的方法．

　　师：再看已知条件与哪一种方法的条件相同或有关，思考时注意图形，按老师所标直角符号，回答问题．

　　学生活动：学生认真观察，积极思考后，踊跃回答．

　　教师给出规范的板书，答：垂直于同一条直线的两条直线平行．

　　理由：如图3，，．

　　∵ ，（已知），

　　∴ （垂直的定义）．

　　∴ （同位角相等，两直线平行）．

　　师：这是两步推理，两个“∵”之间省略的一个“∴”，是什么内容？

　　学生活动：∵ （已证）．

　　【教法说明】教师在讲解时，注意后发学生，引导学生形成正确的思维，从而学会分析问题，提高解题能力．

　　师：想一想，能不能利用内错角相等，或者同旁内角互补，来说明呢？图形中的符号怎样改动？模仿例题说出理由

　　学生活动：学生思考，并在练习本上写出理由，请两名同学到黑板上去做，形成板书：

图4

　　理由：如图4，，．

　　∵ ，（已知），∴ （垂直的定义）．

　　∴ （内错角相等，两直线平行）．

　　理由：如图5，，．

　　∵ ，（已知），

图5

　　∴ （垂直的定义）．

　　∴ （同旁内角互补，两直线平行）．

　　【教法说明】一题多解既巩固所学知识，同时培养了学生的发散思维，提高了学生的解题能力．

　　变式训练，培养能力

　　练习（出示投影）：

　　1．如图6，木工师傅用角尺画出工件边缘的两条垂线，这两条垂线平行吗？为什么？

　　2．如图7，如何判断这块玻璃板的上下两边平行？

　　
图6　　　　　　　　　图7

　　学生活动：学生思考，给出第1题的答案为两条垂线平行．因为画出的两条线都垂直于工件边缘，也就是说，相交成直角，根据同位角相等（或内错角相等或同旁内角互补），两直线平行；对于第2题需要添出截线，然后有三种方法来判断．

　　【教法说明】这两个题目都是实际问题，培养学生应用所学知识解决实际问题的能力尤其是第2题，我们判定两条直线是否平行，必须根据被第三条直线截出的三种位置的关系角的大小来判定，通过此题，让学生进一步理解平行线的三种判定方法及应用．

　　（四）总结、扩展

　　师：我们学习了几种判定两条直线平行的方法．

　　学生活动：学生自己总结归纳完成下表．

判定	文字叙述	符号语言	图形
第一种	同位角相等，两直线平行	∵ （已知）， ∴ (　　)．
第二种	内错角相等，两直线平行	∵ （已知）， ∴ (　　)．
第三种	同旁内角互补，两直线平行	∵（已知，）∴ (　　)．