第五节 平行线的判定

典型例题

　　例1、如图，由∠1＝∠2，可以判断

　　A．AB∥CD　　B．AD∥BC　　C．AB⊥CD　　D．AD⊥BC

　　分析：从图形可以先猜想出可能是AB∥CD，也可能是AD∥BC，但是我们发现AD和BC与题目的已知条件无关，这是一种对图形的认识，那么怎么才能构造出我们判断平行的条件呢？这就需要对∠1、∠2进行等量代换．显然∠ABD＝∠1＝∠2，所以AB∥CD故选A

　　说明：在练习中看图、识图是一种能力，会大大提高解题的速度．当然，这道题目还有别的证明方法，三个判定定理都可以证出此题．

　　例2、完成下面的推理，并在括号中写出相应的根据如下图所示

　　∵∠ADE＝∠DEF(已知)

　　∴AD∥________(　　　　)

　　又∵∠EFD＝∠C(已知)

　　∴EF∥________(　　　　)

　　∴_____∥____ (　　　　)

　　分析：图中∠ADE和∠DEF没有直接给出，所以应自己画出辅助线，如下图此时就可以看一看∠ADE和∠DEF是什么关系的角，不难看出它们是一对内错角．

　　解：EF   内错角相等，两直线平行

　　　　BC   同位角相等，两直线平行

　　　　AD  BC  如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行

　　说明：在几何中经常要添加辅助线来帮助解题，本题中的辅助线是比较简单的．

　　例3、如图，若∠1＝∠2，∠2与∠3互补，试说明l₁∥l₂∥l₃．

　　分析：要说明l₁∥l₂∥l₃．由判定公理可知，必须存在相关的角的关系．因此有∠1＝∠2，∠2与∠3互补，从图形中不难发现．同位角和内错角之间的联系，因此只需确定它们的相等关系即可．

　　方法一：∵l是一条直线

　　　　　　∴∠1与∠6互补

　　　　　　∴∠1＋∠6＝180°

　　　　　　∵∠2与∠3互补(已知)

　　　　　　∴∠2＋∠3＝180°

　　　　　　∴∠3＝∠6

　　　　　　∴l₁∥l₃(同位角相等，两直线平行)

　　　　　　又∵∠1＝∠2，

　　　　　　∴l₁∥l₂(同位角相等，两直线平行)

　　　　　　∴l₁∥l₂∥l₃(如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也
　　　　互相平行)

　　方法二：∵l₁与l₃相交

　　　　　　∴∠1＝∠4(对顶角相等)

　　　　　　∴∠1＝∠2(已知)

　　　　　　∴∠2＝∠4

　　　　　　∵∠2与∠3互补(已知) 且∠7与∠3互补(邻补角)

　　　　　　∴∠2＋∠3＝∠7＋∠3

　　　　　　∴∠2＝∠7

　　　　　　∴∠4＝∠7

　　　　　　∴l₁∥l₃(内错角相等，两直线平行)

　　　　　　又∵∠1＝∠2(已知)

　　　　　　∴l₁∥l₂(同位角相等，两直线平行)

　　　　　　∴l₁∥l₂∥l₃(平行公理推论)

　　说明：一题多解是提高几何能力的一种重要手段，要尝试使用多种方法解题，迁移到生活中呢？就是要多角度地去观察、分析、解决问题．

　　例4、如图所示，直线AB、BC、CD、DA相交于点A、B、C、D，∠1＝∠2，∠2＋∠3＝180°．试判定：

　　(1)AB∥CD；(2)AD∥BC

　　分析：根据已知条件和图形，要判定两直线平行，必须从角的关系(相等或互补)来考虑应用哪一种判定方法．

　　解：(1)∵∠2＋∠5＝180°(邻补角)

　　　　∠2＋∠3＝180°(已知)

　　　　∴∠3＝∠5(等量代换)

　　　　∴AB∥CD(同位角相等，两直线平行)

　　(2)∵∠2＝∠4(对顶角相等)

　　　　∠1＝∠2(已知)

　　　　∴∠1＝∠4(等量代换)

　　　　∴AD∥BC(同位角相等，两直线平行)

　　说明：学习完本节内容后，应该对判定定理进行一个小结，总结出判断两直线平行的方法．

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