第五节 实数

实数(一)

　一、教学目标

　　1.了解无理数和实数的意义，掌握实数的分类，能够判断一个数是有理数还是无理数；

　　2.了解实数绝对值的意义,了解实数与数轴上的点一一对应的关系;

　　3.掌握有理数的运算法则在实数运算法则中仍适用；

　　4.通过实数的分类,是学生进一步领会分类的思想;

　　5.通过实数与数轴上的点一一对应关系,使学生了解数形结合思想,提高思维能力;

　　6.数形结合体现了数学的统一性的美.

　二、教学重点和难点

　　教学重点：使学生了解无理数和实数的意义及性质，实数的运算律和运算性质.

　　教学难点：无理数意义的理解．

　三、教学方法

　　讲练结合

　四、教学手段

　　多媒体

　五、教学过程

　　(一)复习提问

　　什么叫有理数？有理数如何分类？由学生回答，教师帮助纠正：

　　1．整数和分数统称为有理数．

　　2．有理数的分类有两种方法：

第一种：按定义分类：　　第二种：按大小分类：

　　　

　　(二)引入新课

　　同学们，有理数由整数和分数组成，下面我们用小数的观点来看，整数可以看做是小数点后面是0的小数，如3可写做3.0、3.00；而分数，我们可以将分数化为有限小数或无限循环小数，由此我们可以看到有理数总是可以用有限小数或无限循环小数表示。如3=3.0， ， ，但是是不是所有的数都可以写成有限小数或无限循环小数形式呢？

　　答案是否定的，我们来看这样一组数：

　　

　　

我们会发现这些数的小数位数是无限的，而且是不循环的，这样的小数叫做无限不循环小数，显然它不属于有理数的范围．这就是我们今天要学习的一个新的概念：无理数．

　　1．定义：无限不循环小数叫做无理数．

　　请同学们判断以下说法是否正确？

　　(1)无限小数都是无理数．

　　(2)无理数都是无限小数．

　　(3)带根号的数都是无理数．

　　答：(1)错，无限不循环小数都是无理数．

　　(2)错，无理数是无限不循环小数．

　　

现在我们不仅学过了有理数，而且又定义了无理数，显然我们所学的数的范围又扩大了，我们把有理数和无理数统称为实数，这是我们今天学习的又一新的概念．

　　2．实数的定义：有理数和无理数统称为实数．

　　3．实数的分类：

　　对于实数，我们可按定义分类如下：

　　

　　由上述分类，我们发现有理数和无理数都有正负之分，所以对实数我们还可以按大小分类如下：

　　

　　对于这两种分类的方法，同学们应牢固地掌握．

　　4．实数的相反数：如果a表示一个正实数，那么-a就表示一个负实数，a与-a互为相反数，0的相反数依然是0．

　　由上述定义，我们看到实数的相反数概念与有理数相同．其实不仅如此，绝对值的定义也是如此．

　　5．实数的绝对值：一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．用数字表示仍可表示为：

　　

　　6．实数的运算：

　　关于有理数的运算律和运算性质，在进行实数运算时仍然成立．在实数范围内可进行加、减、乘、除、乘方和开方运算．运算顺序依然是从高级到低级．值得注意的是在进行开方运算时，正实数和零可开任何次方，负数能开奇次方，但不能开偶次方．

　　

　　

　　(3)若｜x｜=π，求x值．

　　

　　

　　

　　

　　

　　例2  判断题：

　　(1)任何实数的偶次幂是正实数．　(　)

　　(2)在实数范围内，若｜x｜=｜y｜，则x=y． (　)

　　(3)0是最小的实数． (　)

　　(4)0是绝对值最小的实数． (　)

　　解：(1)错，0的偶次幕是0，它不是正实数．

　　(2)错，若x=3，y=-3，则满足｜x｜=｜y｜，但x≠y．

　　(3)错，负实数都小于0．

　　(4)对，因为任何实数的绝对值都为非负实数，0自然是绝对值最小的实数．

　六、总结

　　今天我们学习了实数这一新的内容，请同学们首先要清楚，实数我们是如何定义的，它

　　与有理数是怎样的关系，再有就是对实数两种不同的分类要清楚．并应对照有理数中有关相反数、绝对值的定义以及运算律和运算性质，来理解在实数中的定义和运用．

　七、作业

　　教材P．155练习3、4、5、6；P．156习题的10．7A组3．

　八、板书设计

　　

实数(二)

　一、教学过程

　　(一)复习提问

　　1．有理数、无理数、实数的概念．

　　2．实数的分类．(两种方式)

　　例1 把下列各数写入相应的集合中：

　　

　　
　　

　　以上内容应由学生自己先做，再由学生自己来纠正错误．教师再做适当提示。特别要注意有的学生一看不到不能化成有限小数的分类，如 ， 就容易将其化入无理数，这说明学生在概念上还是不十分清楚，应让学生明白是分数就一定是有理数，必可化为有限小数或无限循环小数，要使学生清楚各概念之间的界限，抓住本质，区别相近的概念，

　　我们在讲解有理数概念的时候，接触过数轴的问题，请同学们回忆一下什么叫数轴？

　　我们知道规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴．每个有理数都在数轴上有自己相应的位置．反过来，同学们想一想数轴上所有的点是不是都表示有理数呢？下面我们来验证一下，首先画一个数轴：

　　以0到1为一边、单位长度为边长作一个正方形，以数轴的原点为圆心、正方形的对角线为半径画弧，根据勾股定理，我们知道这个正方形的对角线长为 ，所以所画的弧与数轴的正半轴的交点表示的数就是 ，由此我们看出数轴上的点表示的并不都是有理数，也有无理数．如果我们把所有的有理数连起来，组成的是一条断断续续的数轴，这其中的空缺就是我们刚刚学习的无理数，可见由有理数和无理数把整个数轴填充完整了，所以我们把这个数轴又称为实数轴．实数与数轴上的点是一一对应的．这其中包含着两层含义：第一，每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；第二，数轴上的每一个点都可以用一个实数来表示．

　　我们用数轴来表示实数，将数和图形联系在了一起，这给我们研究数学问题带来了方便，这也是我们数学中一个相当重要的数学思想——数形结合．

　　我们把实数表示在数轴上，最直观地表明了实数的大小，以原点为分界线，在原点的右侧，表示正数，在原点的左侧为负数，我们知道数轴上的实数从左到右是由小变大，并且数轴上的右侧的数总是比它左侧的数大，这就引出了实数比较大小的问题．显然同有理数之间的比较大小是类似的．

　　例2  比较大小：

　　

　　解：(1)“＞”我们前面计算时知道 ，化为小数再与1.7比较，便可

　　知答案了．可见在实数比较大小时，要经常用到无理数的近似值，所以有些常用的无理数的近似值应记住，如 ， ， 等，记住了，用时就方便些．

　　(2)“＞”作此题时，我们看到是两个负数比较大小，根据规则两个负数比较大小先比较他们的绝对值的大小，所以先比较 与 的大小，这两个无理数比较大小时，并不用将他们都化为小数，因为两个算术平方根比大小时，只需看他们的被开方数的大小就行了，被开方数大的，其算术平方根也大，这样我们就得到 ，再根据两负数比较大小，绝对值大的反而小的规律，我们就得到答案了．

　　(3)“＜”此题比较大小时，根据正数大于一切负数的结论就可以得答案了．

　　(4)“＞”此题将π化为3.14159就可以比出大小了．

　　(5)“＜”此题先将|-1.6|化为1.6，再将 化为 ，根据小数比较大小，就得出结论了．

　　(6)“=”此题应将循环小数多展开一些再做比较，就会发现，这两个数，各位上的数是相同的，所以 .

　　(7)“＜” 1.414，在千分位4后面还有数值，而-1.414分位后就是0了，所以我们要提醒学生无理数是无限不循环小数．

　　(8)“＜”

　　(9)“＞”

　　小结：通过例2，我们看到两个数比较大小时，必须化成同类数才做比较，但在化的过程中应避免化错．

　　例3  计算：

　　

　　分析：在实数运算中，当遇到无理数，并且需要求出结果的近似值时，可以按照所要求的精确度用相应的近似有限小数去代替无理数，再进行计算．

　　

　　≈2.236+3.142

　　=5.378

　　≈5.38．

　　应提醒学生，结果要求精确到0.01，但在计算过程中应比结果要求的多保留一位小数．

　　

　　≈1.732×1.414

　　≈2.45．

　　作教材P．155中7、8．

　　7．(1)≈2.25  (2)≈-5.68

　　8．(1)“＜”  (2)“＜”

　二、总结

　　同学们，无理数的引进，把我们所研究问题的数的范围从有理数扩充到了实数，这样一来，我们今后研究问题的数的范围更广泛了，我们所研究的问题也就会更广、更深了．从现在起，在考虑某些数学问题时，一定要有数的范围的概念．对于不同数的范围，可能结果是不相同的．

　三、作业

　　教材P．156习题10．7；A组1、4、5、6；B组1、2．

　四、板书设计