第五节 实数

数系

　　数系通常指包括自然数、整数、有理数、实数和复数的系统。

　　数的观念具有悠久的历史，尤其是自然数的观念，产生在史前时期，详情已难于追索，但对数系建立严谨的理论基础，则是19世纪下半期才完成。

自然数

　　建立自然数概念通常有基于基数与基于序数两种方法。

　　基于基数的自然数概念可溯源于原始人类用匹配方法计数。古希腊人用小石卵记畜群的头数或部落的人数。现在使用的英语calculate（计算）一词是从希腊文calculus（石卵）演变来的。中国古代《易·系辞》中说，上古结绳而治，后世圣人易之以书契，这都是匹配计算法的反映。

　　集合的基数具有元素“个数”的意义，当集合是有限集时，该集合的基数就是自然数。由此可通过集合的并、交运算定义自然数的加法与乘法（见算术）

　　为了计数，必须有某种数制，即建立一个依次排列的标准集合。随后对某一有限集合计数。就是将该集合中每个元素顺次与标准集合中的项对应，所对应的最后的项，就标志着给定集合元素的个数。这种想法导致G.皮亚诺1889年建立了自然数的序数理论。

　　皮亚诺规定自然数集满足下列五条公理，这里“集合”、“含有”、“自然数”、“后粥”等是不加定义的。
　　　① 是自然数。
　　　② 不是任何其它自然数的后继。
　　　③ 每个自然数都有一个后继（a的后记为）
　　　④ a/=b/蕴含a=b
　　　⑤ 设S是自然数的一个集合。如果S含有1，且S含有a / 蕴含S含有 ，则S含有任何自然数。

　　公理⑤就是熟知的数学归纳法公理。一切自然数集记为{1, 2 , 3 ,…，n …}，简记为N。

　　从上述公理出发，可以定义加法和乘法，它们满足交换律与结合律，加法与乘法满足分配律。

整　数

　　在自然数集N之外，再引入新的元素0，-1，-2，-3，…，-n，…。称N中的元素为正整数，称0为零，称1，-2，-3，…，-n，…。为负整数。正整数、零与负整数构成整数系。

　　零不仅表示"无"它在命数法中还个有特殊的意义：表示空位的符号。中国古代用算筹计数并进行运算，空位不放算筹，虽无空位记号，但仍能为位值记数与四则运算创造良好条件。印度--阿拉伯命数法中的零来自印度的零（sunya）字，其原意也是"空"或"空白"。

　　中国最早引入了负数。《九童算术·方程》中论述的“正负术”，就是整法的加减法。减法运算可看作求解方程a+x=b，如果 a，b是自然数，则方程未必有自然数解。为了使它恒有解，就有必要把自然数系扩大为整数系。

　　关于整数系的严格理论，可用下述方法建立。在N×N（即自然数有序对的集）上定义如下的等价关系：对于自然有序对（a1，b1），（a2，b2），如果a1+b2= a2+b1，就说（a1，b1）～（a2，b2），N×N，关于上述等价关系的等价类，称为整数。一切整数的集记为Z。

有　理　数

　　古埃及人约于公元前17世纪已使用分数，中国《九童算术》中也载有分数的各种运算。分数的使用是由于除法运算的需要。除法运算可以看作求解方程px=q（p≠0），如果p，q是整数，则方程不一定有整数解。为了使它恒有解，就必须把整数系扩大成为有理系。

　　关于有理数系的严格理论，可用如下方法建立。在Z×（Z -{0}）即整数有序对（但第二元不等于零）的集上定义的如下等价关系：设 p1，p2 Z，q1，q2 Z - {0}，如果p1q2=p2q1。则称（p1，q2）～（p2，q1）。Z×（Z -{0}）关于这个等价关系的等价类，称为有理数。（p，q）所在的有理数，记为 。一切有理数所成之集记为Q。令整数p对应一于 ，即（p，1）所在的等价类，就把整数集嵌入到有理数的集中。因此，有理数系可说是由整数系扩大后的数系。

引起数学危机的无理数

　　无理数，顾名思义，与有理数相对。那么它就是不能表示为整数或两整数之比的实数，比如 等等。如果不作数学计算，在实际生活中，我们是不会碰到这些数的。无论是度量长度，重量，还是计时。

　　第一个被发现的无理数 ，当时，毕达哥拉斯学派的一个名叫希帕索斯的学生，在研究1和2的比例中项时（若1：X=X：2，那么X叫1和2的比例中项），怎么也想不出这个比例中项值。后来，他画一边长为1的正方形，设对角线为X，于是 。他想，X代表对角线长，而 ，那么X必定是确定的数。但它是整数还是分数呢？显然，2是之间的数，因而X应是1和2之间的数，因而不是整数。那么X会不会是分数呢？毕达哥拉斯学派用归谬法证明了，这个数不是有理数，它就是无理数 。无理数的发现，对以整数为基础的毕氏哲学，是一次致命的打击，以至于有一段时间，他们费了很大的精力，将此事保密，不准外传，并且将希帕索斯本人也扔到大海中淹死了。但是，人们很快发现了等更多的无理数 ，随着时间的推移，无理数的存在已成为人所共知的事实。

　　无理数的发现，是毕氏学派最伟大成就之一，也是数学史上的重要里程碑。

　　

无理数

　　公元前500年，古希腊毕达哥拉斯(Pythagoras)学派的弟子希勃索斯(Hippasus)发现了一个惊人的事实，一个正方形的对角线与其一边的长度是不可公度的(若正方形边长是1，则对角线的长不是一个有理数)这一不可公度性与毕氏学派“万物皆为数”(指有理数)的哲理大相径庭。这一发现使该学派领导人惶恐、恼怒，认为这将动摇他们在学术界的统治地位。希勃索斯因此被囚禁，受到百般折磨，最后竞遭到沉舟身亡的惩处。

　　毕氏弟子的发现，第一次向人们揭示了有理数系的缺陷，证明它不能同连续的无限直线同等看待，有理数并没有布满数轴上的点，在数轴上存在着不能用有理数表示的“孔隙”。而这种“孔隙”经后人证明简直多得“不可胜数”。于是，古希腊人把有理数视为连续衔接

　　的那种算术连续统的设想彻底地破灭了。不可公度量的发现连同著名的芝诺悖论一同被称为数学史上的第一次危机，对以后2000多年数学的发展产生了深远的影响，促使人们从依靠直觉、经验而转向依靠证明，推动了公理几何学与逻辑学的发展，并且孕育了微积分的思想萌芽。

　　不可通约的本质是什么？长期以来众说纷坛，得不到正确的解释，两个不可通约的比值也一直被认为是不可理喻的数。15世纪意大利著名画家达.芬奇称之为“无理的数”，17世纪德国天文学家开普勒称之为“不可名状”的数。

　　然而，真理毕竟是淹没不了的，毕氏学派抹杀真理才是“无理”。人们为了纪念希勃索斯这位为真理而献身的可敬学者，就把不可通约的量取名为“无理数”——这便是“无理数”的由来。

　　

祖冲之和π值的计算

　　祖冲之(429～500)，中国南北朝时期著名的数学家和天文学家．他在数学上的主要贡献是：

　　1．推算出圆周率π在不足近似值3.1415926和过剩似值3.1415927之间、精确到小数点后7位．

　　2．和祖暅一起解决了球体积的计算问题，得到球体积公式，并提出了“幂势既同、则积不容异”的原理．

　　祖冲之，字文远，他是我国南北朝时期的一位杰出的科学家．祖冲之的祖籍在河北，但晋朝末年以来，北方连年混战，民不聊生，中原地区的大量人口移到了南方，这就促进了长江流域的农业生产和社会经济各方面的迅速发展．祖冲之的祖父就是这些移民中的一员．祖冲之出生在南方，他的几代祖先都在南方做官，他的家庭具有浓厚的研究科学的传统，祖家历代对天文历法都很有研究．据说他的祖父掌管土木建筑，也懂得一些科学知识．在家庭的影响下，祖冲之从小就对天文学和数学发生了浓厚的兴趣．

　　青年时祖冲之进入了政府的学术机构——华林学省，专门从事学术活动．后来他又担任过大大小小的各种官职．但是做官并没有使他放弃对科学的研究，他一生中对科学的研究孜孜不倦，并取得了杰出的成就．他的主要成就在数学、天文历法和机械制造三个领域．

　　在数学上，祖冲之研究过《九章算术》和刘徽为之所做的注解，同时给《九章算术》和刘徽的《重差》作过注解．他还写过一部著作《缀术》．这部书被收入著名的《算经十书》中，作为唐代国子监算学课本．令人遗憾的是这些重要的文献都已失传，这是我国科学史上的一个重大损失．所幸的是在《隋书·律历志》中留下了一小段祖冲之的关于圆周率工作的记载，他算出π的值在3.1415926和3.1415927之间，准确到小数后7位，成为当时世界上最先进的成就．唐代的李淳风在《九章算术》的注文中记载了祖冲之和儿子祖暅求球体积的方法，才使得这一成果能够流传下来．

　　 在天文历法方面，祖冲之创制了《大明历》，这是以制成的年代命名的．这部历法有许多革新突破点，例如最早将岁差引进历法；采用3391年加144个闰月的新闰周；首次精密测出交点月日数(27.21223)和回归年日数(365.2428)等数据，并且发明了用圭表测量冬至前后若干天的正午太阳影长以定冬至时刻的方法．可以说《大明历》开辟了历法史的新纪元．

　　然而这样一部优良的历法上书皇帝要求颁布实行时，遭到宋孝武帝的宠臣戴法兴的百般刁难，于是在朝廷上发生了激烈的争论．戴法兴认为祖冲之引进岁差、改革闰周等都违背了儒家经典．戴法兴指责祖冲之是“诬天背经”，大力宣扬日月运行的规律“非凡夫所测”的不可知论观点．祖冲之针锋相对地写了一篇辩驳的奏章．他表示“愿闻显据，以核理实”，“浮辞虚贬，窃非所惧”，并且引用历史文献和天象观测的大量事实，逐条批驳了戴法兴的论点，明确指出“天体运行的规律，不是什么神圣的，不可捉摸的东西，是有形体可供观察考验，有数据可以推算的”，科学在不断进步，人们不能“信古而疑今”．这场辩论充分体现了一位科学家不畏强权，敢于坚持真理，勇于革旧创新的可贵品质．但是，在祖冲之的有生之年，这部优秀的历法未能颁布实行．

　　祖冲之在机械制造方面曾经设计制造过利用水力加工粮食的水碓磨，铜制机件传动的指南车，一天能走百里的“千里船”以及一些陆上运输工具．他还设计制造过漏壶(古代的计时器)和巧妙的款器等．

　　此外，祖冲之还精通音律，是一位下棋能手，甚至写过小说，他的著述很多，可惜大部分都已失传．他是我国历史上少有的一位博学多才的人物．

　　为了纪念和表彰祖冲之在科学上的卓越贡献，莫斯科大学里排列着世界上最著名的科学家的雕像，祖冲之是其中之一．1961年，苏联发射宇宙火箭成功后，决定用世界上最著名的科学家的名字来作为月球上山谷的名字，于是月背面就有了以祖冲之命名的环形山．我国紫金山天文台于1977年把该台在1964年11月9日发现的1888号小行星命名为祖冲之……从此，祖冲之这个名字将与日月并存！

　　在人类的生活中，最常见的图形之一是圆形的东西．例如：火红的太阳、皎洁的月亮，清晨的露珠，旋转的年轮等等．逐渐地，人类在对这一类物体的观察与研究中抽象出了一个几何概念：圆．圆是人类最早认识的几何图形之一，这个被人们视为最简单而美丽的图形中包含着一个神秘的数：圆周率π，这是一个与直径的大小无关的常数．

　　在人类的生产实践中常常遇到需要计算圆的面积和周长的问题，这就引发了人们对于π值的探讨．在远古时代，所取的π值是非常粗糙的．例如我国最早的一部古书《周髀算经》中说：“周三径一”，即π=3．这个值在古巴比伦和埃及人那里也曾被应用．计算π的第一次科学尝试归功于古希腊的大数学家阿基米德．从他以后，对求得π的更精确的值成了古代数学的一个经久不衰的课题，许多人为此付出了大量的心血和汗水．现在，人们对π值的重视似乎已不在π值本身，而把每一次更精确的π值的得出看作人类对于自身毅力的检验，π值成了各民族坚韧不拔的毅力的象征．总的来说，在漫长的π值计算史中，人们所用的方法有两种：古老的几何方法和17世纪以后风靡一时的分析方法．下面，我们就沿着时间的走廊来浏览一下π值简捷的年表．

　　 公元前240年，阿基米德在他的论文《圆的量度》中记载了这样一个方法：从圆内接和外切正六边形开始，每次把边数加倍，用这样一系列的内接和外切正多边形来穷竭圆周，从而求得圆的周长与其半径之比．阿基米德求得了圆内接与外切正九十六

　　公元263年，我国三国时代的著名数学家刘徽首创了利用圆的内接正多边形的面积接近于圆的面积的方法来计算圆周率，即割圆术．他的方法是以1尺为半径作圆，作圆内接正六边形，然后逐渐倍增边数，计算出正十二边形，正二十四边形，正四十八边形和正九十六边形的面积，舍弃了分数部分后，得π=3.14，后人把3.14称为“徽率”．

　　公元480年，祖冲之把圆周率的计算又向前推进了一大步．他仍然采用刘徽的割圆术，一直算到圆的内接正12288(6×2¹¹)边形的边长，并算出了正12288和24576边形的面积后推得π≈3.1415926

　　在祖冲之的时代，还没有纸和笔，只能用算筹在地上摆出数字和计算过程．从圆内接正六边形起，每次倍增直到内接正12288边形．每进一步，都要把许多算筹按照加、减、乘、除、开方、平方等11个步骤的同一运算程序反复摆弄12次，而每次都是对9位数字进行的，要完成这样复杂的运算，需要多么顽强的意志和严谨细致的作风啊！

家．

　　1429年，阿拉伯数学家第一次打破了由祖冲之保持了1000多年的π值“世界纪录”．他在《关于弦和正弦》一文中分别计算了圆内接和圆外切805，306，368边形(3×2²⁸边形)的周长，计算出2π=6.2831853071795865，使圆周率精确到小数点后16位．

　　1579年，法国著名的数学家韦达由圆内接6×2¹⁶边形算出π的9小数，并且得到了π的第一个无穷乘积表达式

　　1610年，德国的鲁道夫用2⁶²边形计算π到小数点后第35位．这一工作几乎耗费了鲁道夫毕生的心血．他去世后，人们为了纪念他，将这一值铭刻在他的墓碑上，并称之为“鲁道夫数”．

　　1630年，数学家格林贝尔格(Gtrienberger)把π计算到小数点后39位，这是用古老的几何方法计算π的最后的较为重要的尝试了．

　　17世纪，随着分析学的建立与扩展，人们相继发现了许多有关π的表达式．例如，1650年，英国数学家沃里斯把π表示成下面的形式

　　1671年，苏格兰数学家詹姆斯·格里高里得到无穷级数

　　当x=1时，此级数变为

　　但是用这些式子去计算π有一些问题：要么计算过于复杂，要么级数收敛速度太慢．例如，若要用最后一个公式把π计算得准确到第6位数字，就必须计算公式的前2，000，000项．

　　1706年，英国的一个不太出名的数学家约翰·梅软发现了另一个公式：

　　使得计算π值的速度大大加快．他用此公式算π达100位小数．

　　人们花费如此高昂的代价来求π的数值，其中有一个目的是想找出π值有什么规律．然而，由于林德曼在1882年证明了π是个超越数，也就是π的小数部分一定是无限而又不循环的．这样，原来的目的再也没有什么意义了．不过，人们还是不肯罢休．后来，数学家们又相继找出了一系列公式，应用这些公式，π的位数节节上升．

　　1873年，英国学者威廉·欣克用格里高里级数与梅软公式，经过30年坚持不懈的努力，将π算到了707位小数．无论如何这是人工计算的极限了．在新的计算手段出现以前，要想继续推进这个结果使人望而却步．欣克死后，人们将这一凝聚着欣克毕生心血的数值，铭刻在他的墓碑上，以颂扬他的顽强意志．

　　1948年，英国的弗格森(D．F．Ferguson)用手工计算机对欣克的结果进行了核查，他足足算了1年，结果发现欣克的π值在第528位错把5写成了4，结果他后面的计算全都错了，10年的功夫全费了．弗格森于1947年算出了710位的正确值．同时，美国的小伦奇发表了808位的π值，但是不久弗格森发现了723位上的一个错误．1948年1月，弗格森和伦奇联合发表了准确到808位的π值．

　　1946年，世界上第一台电子计算机问世，从此，π值的计算以人力不能比拟的速度直线上升．1958年1月20 日，在法国IBM公司工作的弗朗索瓦裘纽斯利用一台IBM704型电子计算机把π值计算到了1万位，计算时间仅为1小时10分．

　　1959年7月20日，法国另一位学者吉劳德在巴黎仍用IBN704计算π到了16，167位．1973年9月3日，吉劳德又与她的合作者一起在CDC7600计算机上将π的值计算到100万位．她们把结果印成了一本大书，这本书全是数码，因此被人们称为有史以来世界上最最沉闷乏味的一本读物，然而它却显示了计算机的计算威力．

　　1986年，日本东京大学的廉正蒲田在一台IVECSZ—2巨型计算机上计算π值达134 217 700位．1989年，一对姓丘德诺维斯的兄弟在美国超级计算机上把π值计算到了10亿位，打印纸长度达37米．

　　曾有人计算过，若用小数点后18位的π值，就可算出以地球到月亮间的距离为半径的圆周长，其误差小于10^-4毫米，这是一根头发的1％细．因此，在实践中，祖冲之的结果π≈3.1415926就足够了，花费很大力气而过分追求π的位数已没有多大意义，顶多，π值只剩下检验计算机性能和训练工作人员操作技术这一层意义了．