第六节 三角形全等的判定2

典型例题

　　

　　分析：由“ASA”和“AAS”可知，“一边相等”指的是对应边相等.所以本题要从这一相等的边是否是一组对应边入手考虑.

　　解：这两个直角三角形不一定全等，可分三种情况进行说明.

　　

　　说明：当相等的一边若是对应相等的对应角的对边或两角的夹边，则这两三角形全等.此题容易混淆对“应边相等与边相等”.

　　

　　分析：结论要证的两个三角形△BDF与△CEF中，有一组对角相等，由已知条件可推得，BD＝CE，只要证明出它们的另一对角∠C与∠B相等，就可证出结论了，为了证明∠C＝∠B，可以设法证明△ACD与△ABE全等，而这由已知不难证得.

　　

　　说明：本题的解题关键是证明△ABE≌△CEF得到∠B＝∠C

　　　　　书写格式要规范.

　　例3已知：如图4△ABC≌△A₁B₁C₁，AD、A₁D₁分别是△ABC和△A₁B₁C₁的高.

　　求证：AD=A₁D₁

　　分析：已知△ABC≌△A₁B₁C₁，相当于已知它们的对应边相等.在证明过程中，

　　可根据需要，选取其中一部分相等关系.

　　证明：∵△ABC≌△A₁B₁C₁（已知）

　　∴AB=A₁B₁，∠B=∠B₁（全等三角形的对应边、对应角相等）

　　∵AD、A₁D₁分别是△ABC、△A₁B₁C₁的高（已知）

　　∴∠ADB=∠A₁D₁B₁=

　　在△ABC和△A₁B₁C₁中

　　∠B=∠B₁（已证）

　　∠ADB=∠A₁D₁B₁（已证）

　　AB=A₁B（已证）

　　∴△ABC≌△A₁B₁C（AAS）

　　∴AD=A₁D₁（全等三角形的对应边相等）

　　说明：本题为例2的一个延伸题目，关键是利用三角形全等的性质及判定找到相等关系.类似的题目还有角平分线相等、中线相等.

　　例4　　如图5，已知：AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB、∠DBA而交CD于E.

　　求证：AB＝AC+BD

　　分析：证明一条线段等于两条线段的和，通常采用截长法或补短法.

　　证明思路一：在AB上截取AF＝AC，在△ACE与△AFE中已具备了边角边条件，

　　故△ACE≌△AFE，

　　由此得∠C＝∠5进而可知∠C+∠6＝180又AC∥BD，可得∠C+∠D＝180　∴∠6＝∠D

　　此时，在△BEF和△BED中已具备了角角边的条件，故它们全等，由此证得BD＝BF

　　∴AC+BD＝AF+BF即AB＝AC+BD

　　证明思路二：延长BE、AC交于F，依次证明△AFE≌△ABE和△CEF≌△DEB

　　分别可得AF＝AB，CF＝BD，，即可证得结论

　　证明：（略）

　　说明：此题是几何中的一种常见类型题目：求证线段之间的相等关系.往往需引辅助线利用截长法或补短法.要求学生分析讨论两种思路的优势所在.

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