第一节 二次根式

教学设计示例

二次根式(一)

　　一、教学目标

　　1．了解二次根式的意义；

　　2. 掌握用简单的一元一次不等式解决二次根式中字母的取值问题；

　　3. 掌握二次根式的性质 和 ，并能灵活应用；

　　4．通过二次根式的计算培养学生的逻辑思维能力；

　　5. 通过二次根式性质 和 的介绍渗透对称性、规律性的数学美.

　　二、教学重点和难点

　　重点：(1)二次根的意义；(2)二次根式中字母的取值范围．

　　难点：确定二次根式中字母的取值范围．

　　三、教学方法

　　启发式、讲练结合．

　　四、教学过程

　　(一)复习提问

　　1．什么叫平方根、算术平方根？

　　2．说出下列各式的意义，并计算：

　　 ， ， ， ， ， ， ，

　　通过练习使学生进一步理解平方根、算术平方根的概念．

　　观察上面几个式子的特点，引导学生总结它们的被平方数都大于或等于零，其中 ，

　　 ， ， ， 表示的是算术平方根.

　　(二)引入新课

　　我们已遇到的 ， ， ，这样的式子是我们这节课研究的内容，引出：

　　新课：二次根式

　　定义： 式子 叫做二次根式.

　　对于 请同学们讨论论应注意的问题，引导学生总结：

　　（1）式子 只有在条件a≥0时才叫二次根式， 是二次根式吗？ 呢？

　　若根式中含有字母必须保证根号下式子大于等于零，因此字母范围的限制也是根式的一部分.

　　（2） 是二次根式，而 ，提问学生：2是二次根式吗？显然不是，因此二次

　　根式指的是某种式子的“外在形态”．请学生举出几个二次根式的例子，并说明为什么是二次根式．下面例题根据二次根式定义，由学生分析、回答．

　　例1 当a为实数时，下列各式中哪些是二次根式？

　　分析： ， ， ， 、 、 、 四个是二次根式. 因为a是实数时，a+10、a²-1不能保证是非负数，即a+10、a²-1可以是负数(如当a＜-10时，a+10＜0；又如当0＜a＜1时，a²-1＜0），因此， 与 不是二次根式.

　　例2 x是怎样的实数时，式子 在实数范围有意义？

　　解：略．

　　说明：这个问题实质上是在x是什么数时，x-3是非负数，式子 有意义．

　　例3  当字母取何值时，下列各式为二次根式：

　　（1） 　(2) 　(3) 　(4)

　　分析：由二次根式的定义 ，被开方数必须是非负数，把问题转化为解不等式．

　　解：(1)∵a、b为任意实数时，都有a²+b²≥0，∴当a、b为任意实数时， 是二次根式.

　　（2）-3x≥0，x≤0，即x≤0时， 是二次根式.

　　（3） ，且x≠0，∴x＞0，当x＞0时， 是二次根式.

　　（4） ，即 ，故x-2≥0且x-2≠0, ∴x＞2.当x＞2时， 是二次根式.

　　例4  下列各式是二次根式，求式子中的字母所满足的条件：

　　（1） ；　（2） ；　（3） ；　（4）

　　分析：这个例题根据二次根式定义，让学生分析式子中字母应满足的条件，进一步巩固二次根式的定义，.即： 只有在条件a≥0时才叫二次根式，本题已知各式都为二次根式，故要求各式中的被开方数都大于等于零．

　　解：（1）由2a+3≥0，得 .

　　（2）由 ，得3a-1＞0，解得 .

　　（3）由于x取任何实数时都有|x|≥0，因此，|x|+0.1＞0，于是 ，式子 是二次根式. 所以所求字母x的取值范围是全体实数．

　　(4)由-b²≥0得b²≤0，只有当b=0时，才有b²=0，因此，字母b所满足的条件是：b=0．

　　(三)小结(引导学生做出本节课学习内容小结)

　　1．式子 叫做二次根式，实际上是一个非负的实数a的算术平方根的表达式．

　　2．式子中，被开方数(式)必须大于等于零．

　　(四)练习和作业

　　练习：

　　1．判断下列各式是否是二次根式

　　

　　分析：（2） 中， ， 是二次根式；（5）是二次根式. 因为x是实数时，x、x+1不能保证是非负数，即x、x+1可以是负数（如x＜0时，又如当x＜-1时＝，因此（1）（3）（4）不是二次根式，（6）无意义.

　　2．a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？

　　

　　五、作业

　　教材P．172习题11．1；A组1；B组1．

　　六、板书设计

　　

教学设计示例

二次根式

　　一、教学过程

　　(一)复习提问

　　1．什么叫二次根式？

　　2．下列各式是二次根式，求式子中的字母所满足的条件：

　　

　　

　　(3)∵x取任何值都有2x²≥0，所以2x²+1＞0，故x的取值为任意实数．

　　

　　(二)二次根式的简单性质

　　上节课我们已经学习了二次根式的定义，并了解了第一个简单性质

　　我们知道，正数a有两个平方根，分别记作零的平方根是零。引导学生总结出，其中，就是一个非负数a的算术平方根。将符号“”看作开平方求算术平方根的运算，看作将一个数进行平方的运算，而开平方运算和平方运算是互为逆运算，因而有：

　　这里需要注意的是公式成立的条件是a≥0，提问学生，a可以代表一个代数式吗？

　　请分析：引导学生答如 时才成立。

　　 时才成立，即a取任意实数时都成立。

　　我们知道

　　如果我们把 ，同学们想一想是否就可以把任何一个非负数写成一个数的平方形式了．

　　例1  计算：

　　

　　分析：这个例题中的四个小题，主要是运用公式 。其中(2)、(3)、(4)题又运用了整式乘除中学习的积的幂的运算性质．结合第（2）小题中的 ，说明 ，这与带分数 。因此，以后遇到 ，应写成 ，而不宜写成 。

　　

　　

　　例2  把下列非负数写成一个数的平方的形式：

　　(1)5；  (2)11；  (3)1.6；  (4)0.35．

　　
　　

　　例3  把下列各式写成平方差的形式，再分解因式：

　　(1)4x²-1；　　　(2)a⁴-9；

　　(3)3a²-10；　　　(4)a⁴-6a²+9．

　　解：(1)4x²-1

　　　=(2x)²-1²

　　　=(2x+1)(2x-1)．

　　(2)a⁴-9

　　　=(a²)²-3²

　　　=(a²+3)(a²-3)

　　　

　　(3)3a²-10

　　　

　　(4)a⁴-6a²+3²

　　　=(a²)²-6a²+3²

　　　=(a²-3)²

　 　

　　(三)小结

　　1．继续巩固二次根式的定义，及二次根式中被开方数的取值范围问题．

　　2．关于公式 的应用。

　　(1)经常用于乘法的运算中．

　　(2)可以把任何一个非负数写成一个数的平方的形式，解决在实数范围内因式分解等方面的问题．

　　(四)练习和作业

　　练习：

　　1．填空

　　
　　

　　注意第(4)题需有2m≥0，m≥0，又需有-3m≥0，即m≤0，故m=0．

　　2．实数a、b在数轴上对应点的位置如下图所示：

　　

　　分析：通过本题渗透数形结合的思想，进一步巩固二次根式的定义、性质，引导学生分析：由于a＜0，b＞0，且｜a｜＞｜b｜．

　　

　　3．计算

　　

　　二、作业

　　教材P．172习题11．1；A组2、3；B组2．

　　补充作业：

　　下列各式中的字母满足什么条件时，才能使该式成为二次根式？

　　

　　分析：要使这些式成为二次根式，只要被开方式是非负数即可，启发学生分析如下：

　　(1)由-｜a-2b｜≥0，得a-2b≤0，

　　但根据绝对值的性质，有｜a-2b｜≥0，

　　∴  ｜a-2b｜=0，即a-2b=0，得a=2b．

　　

　　(2)由(-m²-1)(m-n)≥0，-(m²+1)(m-n)≥0

　　∴  (m²+1)(m-n)≤0，又m²+1＞0，

　　∴  m-n≤0，即m≤n．

　　

　　说明：本题求解较难些，但基本方法仍是由二次根式中被开方数(式)大于或等于零列出不等式．通过本题培养学生对于较复杂的题的分析问题和解决问题的能力，并且进一步巩固二次根式的概念．

　　三、板书设计