第三节 二次根式的除法

典型例题

　　例1．化简：

　　（1） ；　（2） ；　（3） ；

　　（4） 　（5） ；　（6） ；

　　（7） ；（8）

　　分析：利用积和商的算术平方根的性质进行化简，将分母中的根号去掉.

　　解：（1）原式 ．

　　（2）原式 ．

　　（3）原式

　　（4）原式 ．

　　（5）原式 ．

　　（6）原式 ．

　　（7）原式 ．

　　（8）原式 ．

　　小结：①当被开方数是带分数时，应先将带分数化成假分数，然后再化简．如本例中的第（3）题．

　　②商的算术平方根相乘，可先用二次根式的乘法法则化为一个二次根式，再利用商的算术平方根的性质化简．如本例中的第（2）、（5）题．

　　③根号内的分母移到根号外面时，仍然作为分母．

　　④被开方数的分子或分母是多项式，要先分解因式，配成平方的形式，再化简．

　　例2．计算（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；

　　（5） ；（6） ．

　　分析：利用二次根式除法法则进行，被开方数相除时，用除以一个数（非零）等于乘以这个数的倒数，约分再化简．

　　解：（1）原式 ．

　　（2）原式 ．

　　（3）原式 ．

　　（4）原式 ．

　　（5）原式 ．

　　（6）原式 ．

　　小结：当除式是分数或分式时，可转化为乘法计算．运算的结果一定要最简．即：①被开方数不能有开得尽方的因数或因式；②被开方数中不能含有分母．

　　例3．把下列各式中的分母有理化

　　(1) ；(2) ；(3) ；(4) ；(5) ．

　　解：（1）

　　　　

　　　　 ．

　　（2） ．

　　（3） ．

　　（4） ．

　　（5） ．

　　小结：在进行分母有理化时，如果被开方数是单项式或单项二次根式时，应先把被开方数分解因数（式），将能够移到根号外的因数（式）先移到根号外．若分子分母有公因式可以约分，然后再找有理化因式．对于一些特殊的问题，可以不需要分母有理化就可以化去根号内的分母．例如，第（4）题可用下列方法化简：

　　

　　又如，第（2）题也可以用下面的方法来解：

　　 ．

　　因此，分母有理化的方法是多种多样的，应根据题目的特点采用相应的方法．

　　例4．计算  （1） ；

　　（2） ；

　　（3） ；

　　（4） ．

　　分析：这是一组二次根式的乘除运算题，按照二次根式的乘除运算法则进行．

　　解（1）原式

　　           ．

　　（2）原式

　　        

　　         ．

　　（3）原式

　　         ．

　　（4）原式

　　         ．

返回页首