第三节 二次根式的除法

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常用有理化因式的类型及其应用

甘肃省平凉一中 史浩春

　　在有关根式的运算中，经常要把分母有理化，分母有理化的一般方法是分子与分母同乘以分母的有理化因式，因此分母有理化的关键是找分母的有理化因式．

　　

　　例1 把下列各式分母有理化：

　　
　　　 　

　　

　　

　　(2)当分母不是最简根式时，一般应先化成最简根式后再分母有理化比较简便．

　　

　　例2 把下列各式分母有理化；

　　
　　

　　
　　

　　例3 把下列各式分母有理化：

　　

　　
　　
　　

　　例4把下列各式分母有理化：

　　
　　

　　
　　

　　例5 把下列各式分母有理化：

　　

　　

　　 　

　　
　　

　　对于分母不属于上面几种类型的含有根式的式子，有时可通过适当变形连续使用上述方法才能得到结果，举一例．

　　

　　分析 此题不能直接应用上面的方法分母有理化，但考虑到1＋2=3，所以把分

　　
　　
　　

　　练习

　　把下列各式分母有理化：

　　
　　

　　
　　　　

　　

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独具匠心的勾股定理证明

　　我国古代的劳动人民早在几千年前就已经掌握了勾股定理并把它应用于实际的生产和生活之中．到《周髀算经》和《九章算术》这两部数学著作问世，这一定理更有了一般的公式化的陈述．然而一直到汉代末期，这一公式仍未见有严格的证明．现存数学典籍中最早给这一定理证明的，是赵爽的《周髀算经注》．

　　赵爽又名婴，字君卿，三国时吴国人．由于史书上没有他的传记，所以他的生卒年代和生平事迹已不可详考了．从他自己所说“负薪余日、聊观《周髀》”的话来看，可能是个平民数学家．他在读了《周髀算经》后，深为此书的数学内容所折服，又恐怕后人不能彻底理解其中的深奥道理，于是就动手对它作了全面的注释和阐述．其中给出的《勾股圆方图》和《勾股圆方图注》，便是对勾股定理的一个严格而又巧妙的证明．

　　《勾股圆方图注》一开首就说：“勾股各自乘，并之为弦实．开方除之，即弦．”这实际上给出了如下的两个公式：

　　(1)勾×勾+股×股=弦×弦(a²+b²=c²)

　　

　　接着，赵爽用一个“弦图”(见下图)对以上公式进行了证明．在这个图中，以弦为边长的正方形ABDE是由4个相等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的每个直角三角形的面积为 ；中间的小正方形边长为b-a，则面积为 。于是便得如下的式子：

　　

　　化简便得：

　　a²+b²=c²

　　亦即：

　　

　　赵爽的这个证明可谓别具匠心．他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范．以后的数学家大多继承了这一风格并且代有发展．例如稍后一点的刘徽在证明勾股定理时也是用的以形证数的方法，只是具体的分合移补略有不同．刘徽的证明原也有一幅图，可惜图已失传，只留下一段文字：“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不动也，合成弦方之幂．开方除之，即弦也．”后人根据这段文字补了一张图(见下图)．

　　

　　“形数统一”是中国传统数学的一个基本思想方法，它与西方以欧几里德为代表的几何学独立于数量关系而单纯研究空间形式的风格完全不同．然而，“形数统一”的思想方法又是数学发展的一个很重要的条件，正如当代中国数学家吴文俊所说：“在中国的传统数学中，数量关系与空间形式往往是形影不离并肩地发展着的．……十七世纪笛卡儿解析几何的发明，正是中国这种传统思想与方法在几百年停顿后的重现与继续．”(《自然辩证法通讯》1990年第4期)