第六节 二次根式的混合运算

二次根式的混合运算(第一课时)

　　一、教学目标

　　1．掌握二次根式的混合运算．

　　2．掌握乘法公式在混合运算的应用．

　　3．通过二次根式的混合运算，培养学生的运算能力．

　　4．通过例题由浅入深，层层深入，激发学生求知的欲望

　　二、教学设计

　　小结、归纳、提高

　　三、重点、难点解决办法

　　1．教学重点：二次根式的混合运算．

　　2．教学难点：混合运算的应用．

　　四、课时安排

　　1课时

　　五、教具学具准备

　　投影仪、胶片、多媒体

　　六、师生互动活动设计

　　1．复习，运算律及乘法分式，引导学生口答，并强调数的运算律在根式运算中的适用，引入例题．

　　2．通过例题由浅入深，层层深入，既提高学生学习的兴趣又激发学生求知的欲望；从例题的讲解中帮助寻找解题的方法，规律及注意点．

　　3．通过大量的练习，以期形成自己所掌握的知识．

　　七、教学步骤

　　 （－）明确目标

　　前面学过二次根式的加减法的简单运算，但二次根式未必全是加减混合运算，它同样会出现二次根式的加、减、乘、除方等混合运算那么二次根式的混合运算的法则是什么？又将怎样运用它进行化简计算，这就是本节课所要研究的问题—二次根式的混合运算．

　　（二）整体感知

　　二次根式的混合运算中，应注意运算的次序．这是进行二次根式混合运算的前提条件；通过适当地复习乘法分式，分母有理化知识，然后再进行二次根式的混合运算的教学工作，将有助于更好地学习它；同样为了更好地理解二次根式的混合运算还可以将它与数的运算律和运算方法进行对比，以帮助学生更好地理解并准确地掌握好该知识，达到事半功倍的作用．

第一课时

　　（－）教学过程

　　【复习】

　　运算律在二次根式混合运算中仍适用．

　　各种整式乘法的法则．

　　乘法公式： ．

　　 ．

　　提问：加法的交换律、结合律各是怎样的？乘法的交换律、结合律、分配津各是什么？

　　强调数的运算律在根式运算中仍适用后，可引入例题．

　　【例题】

　　例1　计算：

　　（1） ；

　　（2） ．

　　解：略．

　　注：①加法与乘法的混合运算，可分解为两个步骤完成，一是进行乘法运算，二是进行加法运算，使难点分散，易于学生理解和掌握．②在运算过程中，对于各个根式不一定要先化简，而是先乘除，进行约分，达到化简的目的，但最后结果一定要化简．例如 ，没有对 先进行化简的必要，使计算繁琐，而是应先进行乘法运算 ，通过约分达到化简的目的．

　　例2　计算：

　　（1） ；

　　（2） ；

　　（3） ．

　　解：略．

　　注：①由学生观察算式，找出特征：两个数的和与这两个数差的积；两个数的和或差的平方，联想乘法公式，与多项式的乘法相类似，二次根式的和相乘，适用乘法公式时，运用乘法公式．

　　②复习乘法公式，可选做几个小题．如 ， 等．

　　例3　计算：

　　（1） ；

　　（2） ．

　　解：略．

　　③引入有理化因式的概念

　　例如， 与 ， 与 ．

　　注：互为有理化因式是指两个代数式，其乘积不再含有二次根式．

　　可适当再举例说明，如 与 ， 与 、 与 ，但 与 就不是互为有理化因式．

　　（二）随堂练习

　　计算：

　　（1） ；　　　　　（2） ；

　　（3） ；　　（4） ；

　　（5） ；　（6） ；

　　（7） ；　　（8） ；

　　（9） ．

　　解：（1） ．

　　（2）

　　　

　　　 ．

　　（3）

　　　 ．

　　（4）

　　　

　　　

　　　 ．

　　（5）

　　　

　　　

　　　

　　　

　　　 ．

　　（6）

　　　

　　 　 ．

　　（7） ．

　　（8）

　　　 ．

　　（9）

　　　

　　　 ．

　　（三）总结、扩展

　　对二次根式的混合运算与整式的混合运算及数的混合运算比较，要注意运算的顺序及运算律在计算过程中的作用．

　　有理化因式的概念需强调乘积的结果不再含有二次根式．

　　练习：教材P198中1、2；教材P199中3．

　　（四）布置作业

　　教材P204中1、2、3．

　　（五）板书设计

标    题 　1．复习内容　　　　　　　例3…… 　2．例题　　　　　　　　　3．有理化因式 　　　　例1……　　　　　　　4．练习题 　　　　例2……

　　

二次根式的混合运算(第二课时)

　　一、教学目标

　　1．理解分母有理化与除法的关系．

　　2．掌握二次根式的分母有理化．

　　3．通过二次根式的分母有理化，培养学生的运算能力．

　　4．通过学习分母有理化与除法的关系，向学生渗透转化的数学思想

　　二、教学设计

　　小结、归纳、提高

　　三、重点、难点解决办法

　　1．教学重点：分母有理化．

　　2．教学难点：分母有理化的技巧．

　　四、课时安排

　　1课时

　　五、教具学具准备

　　投影仪、胶片、多媒体

　　六、师生互动活动设计

　　复习小结，归纳整理，应用提高，以学生活动为主

　　七、教学过程

　　【复习提问】

　　二次根式混合运算的步骤、运算顺序、互为有理化因式．

　　例1  说出下列算式的运算步骤和顺序：

　　（1） （先乘除，后加减）．

　　（2） （有括号，先去括号；不宜先进行括号内的运算）．

　　（3）辨别有理化因式：

　　有理化因式： 与 ， 与 ， 与 …

　　不是有理化因式： 与 ， 与 …

　　化简一个式子，如果分母是二次根式，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法（依据分式的基本性质）．

　　例如， 、 、 等式子的化简，如果分母是两个二次根式的和，应该怎样化简？

　　引入新课题．

　　【引入新课】

　　化简式子 ，乘以什么样的式子，分母中的根式符号可去掉，结论是分子与分母要同乘以 的有理化因式，而这个式子就是 ，从而可将式子化简．

　　例2  把下列各式的分母有理化：

　　（1） ；　（2） ；　（3）

　　解：略．

　　注：通过例题的讲解，使学生理解和掌握化简的步骤、关键问题、化简的依据．式子的化简，若分子与分母可分解因式，则可先分解因式，再约分，使化简变得简单．

　　（二）随堂练习

　　1．把下列各式的分母有理化：

　　（1） ；　　　（2） ；

　　（3） ；　（4） ．

　　解：（1） ．

　　（2） ．

　　另解： ．

　　（3）

　　　　　　　　 　

　　　　　　　　 　 ．

　　

　　另解： ．

　　通过以上例题和练习题，可以看出，有关二次根式的除法，可先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算，例如：

　　 ，现将分母有理化，就可以了．

　　 ，学生易发生如下错误，将式子变形为 ，而正确的做法是 ．

　　2．计算：

　　（1） ；

　　（2） ；

　　（3） ．

　　解：（1）

　　　　 ．

　　（2）

　　　　 ．

　　（3）

　　　　

　　　　

　　　　 ．

　　（三）小结

　　1．强调二次根式混合运算的法则；

　　2．注意对有理化因式的概括并寻找出它的规律．

　　（1）如单独一项 的有理化因式就是它本身 ．（2）如出现和、差形式的： 的有理化因式为 ， 的有理数化因式为 ．

　　（2）练习：教材P202中1、2．

　　（四）布置作业

　　教材P205中4、5．

　　（五）板书设计

标题 　1．复习内容　　　　　　3．练习题一 　2．例4　　　　　　　　4．练习题二

　　

二次根式的混合运算(第二课时)

　　一、教学目标

　　1．掌握二次根式的混合运算．

　　2．掌握混合运算的应用．

　　3．通过二次根式的混合运算，培养学生的运算能力．

　　4．通过混合运算知识拓展，培养学生的探索精神

　　二、教学设计

　　小结、归纳、提高

　　三、重点、难点解决办法

　　1．教学重点：二次根式的混合运算．

　　2．教学难点：混合运算的应用．

　　四、课时安排

　　1课时

　　五、教具学具准备

　　投影仪、胶片、多媒体

　　六、师生互动活动设计

　　复习小结，归纳整理，应用提高，以学生活动为主

　　七、教学过程

　　【例题】

　　例1　化简：

　　（1） ；　（2） ．

　　解：（1）

　　　　

　　　　

　　　　 ．

　　（2）

　　　

　　　

　　　 ．

　　说明：在计算过程中要注意各个式子的特点，能否约分或消项（第2小题）达到化简的目的，又要善于在规则允许的情况下可变换相邻项的位置，如 ，结果为－1，继续运算易出现符号上的差错，而把 先变为 ，这样 则为1，继续运算可避免错误．

　　例2  解下列方程（组）：

　　（1）

　　（2）

　　（3）

　　解：（1）

　　　

　　　

　　　

　　　

　　　 ．

　　（2）①× ，得

　　 　　　　③

　　②× ，得

　　 　　　　④

　　③－④，得

　　

　　把 代入①，得

　　

　　解得 ．

　　∴    是原方程组的解．

　　（3）由②，得

　　 　　　　③

　　①× ，得

　　 　　④

　　③－④，得

　　

　　

　　把 代入①，得

　　

　　 ．

　　∴ 　是原方程组的解．

　　例3  已知 ， ，求 的值．

　　解： ．

　　    ．

　　 ， ，

　　∴ ．

　　例4  已知 ， ，求 的值．

　　解： ， ．

　　

　　 ．

　　（二）随堂练习

　　1．教材中P206中8．

　　2．解不等式： ．

　　解：

　　　

　　　

　　∴ ．

　　3．已知 ， ，求 的值．

　　解：3． ，或 ．

　　 ．

　　∴

　　　 ．

　　4．已知 ， ，求： 的值．

　　解  4．

　　　

　　　

　　　

　　　

　　　 ．

　　5．已知 ，求 的值．

　　解 5． ．

　　　

　　　

　　　

　　　

　　　 ．

　　6．不求方根的值比较 与 的大小．

　　解 6．∵

　　　　

　　　　

　　　　

　　∴

　　∴

　　（三）总结、扩展

　　根据已知条件，求一个代数的值，要注意条件或代数式的化简，有时条件和要求的代数式都需要化简，当把条件化简后，代数式的化简要朝着条件化简的结果去化简．

　　（四）布置作业

　　教材中P207B组1、3和补充作业．

　　补充作业：

　　1．已知 ，求 的值．

　　2．已知 ， ，求 的值．

　　（五）板书设计

标     题 　1．例题……　　　　　3．例题…… 　2．练习题　　　　　　4．练习题

　　八、背景知识与课外阅读

二次根式的混和运算方法和顺序

　　1．方法  （1）应用二次根式乘法、除法和加减法运算法则．

　　（2）在实数范围内运算律仍适用．

　　（3）二次根式的乘法，与多项式的乘法相类似，遇运用多项式乘法公式时，也可以运用乘法公式．

　　2．顺序   先乘方、后乘除，最后加减，有括号的先算括号内的数．