第六节 二次根式的混合运算

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二次根式大小比较的常用方法

　　二次根式的化简具有极强的技巧性，而在不求近似值的情况下比较两个无理数（即二次根式）的大小同样具有很强的技巧性，对初中生来说是一个难点，但掌握一些常见的方法对它的学习有很大的帮助和促进作用．

　　1．根式变形法

　　【例1】比较 与 的大小

　　【解】将两个二次根式作变形得

　　 ，

　　∵ ，∴ 即

　　【解后评注】本解法依据是：当 ， 时，① ，则 ；②若 ，则

　　2．平方法

　　【例2】比较 与 的大小

　　【解】 ，

　　∵ ，∴

　　【解后评注】本法的依据是：当 ， 时，如果 ，则 ，如果 ，则 ．

　　3．分母有理化法

　　通过运用分母有理化，利用分子的大小来判断其倒数的大小．

　　【例3】比较 与 的大小

　　【解】∵

　　

　　又∵

　　∴

　　4．分子有理化法

　　在比较两个无理数的差的大小时，我们通常要将其进行分子有理化，利用分母的大小来判断其倒数的大小．

　　【例4】比较 与 的大小

　　【解】∵

　　

　　又∵

　　∴ ．而

　　5．等式的基本性质法

　　【例5】比较 与 的大小

　　【解法1】∵

　　

　　又

　　

　　∴

　　即

　　【解后评注】本解法利用了下面两个性质：①都加上同一个数后，两数的大小关系不变．②非负底数和它们的二次幂的大小关系一致．

　　【解法2】将它们分别乘以这两个数的有理化因式的积，得

　　

　　

　　又∵ ∴

　　【解后评注】本解法的依据是：都乘以同一个正数后，两数的大小关系不变．

　　6．利用媒介值传递法

　　【例6】比较 与 的大小

　　【解】∵ 　∴

　　又∵ 　∴

　　∴

　　【解后评注】适当选择介于两个无理数之间的媒介法，利用数值的传递性进行比较．

　　7．作差比较法

　　在对两数进行大小比较时，经常运用如下性质：

　　① ；②

　　【例7】比较 与 的大小

　　【解】∵

　　　　

　　∴

　　8．求商比较法

　　与求差比较法相对应的还有一种比较的方法，即作商比较法，它运用的是如下性质，当 ， 时，则：

　　① ；②

　　【例8】比较 与 的大小．

　　【解】

　　∵

　　∴

　　∴

　　【解后评注】得上所述，含有根式的无理数大小的比较往往可采用多种方法，来求解．有时还需各种方法配合使用，其中根式变形法，平方法是最基本的，对于具体的问题要作具体分析，以求用最佳的方法解出正确的结果．

　　

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二次根式的化简与计算的策略与方法

　　二次根式是初中数学教学的难点内容，读者在掌握二次根式有关的概念与性质后，进行二次根式的化简与运算时，一般遵循以下做法：

　　①先将式中的二次根式适当化简

　　②二次根式的乘法可以参照多项式乘法进行，运算中要运用公式 （ ， ）

　　③对于二次根式的除法，通常是先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算．

　　④二次根式的加减法与多项式的加减法类似，即在化简的基础上去括号与合并同类项．

　　⑤运算结果一般要化成最简二次根式．

　　（－）化简二次根式的常用技巧与方法

　　二次根式的化简是二次根式教学的一个重要内容，对于二次根式的化简，除了掌握基本概念和运算法则外，还要掌握一些特殊的方法和技巧，会收到事半功倍的效果，下面通过具体的实例进行分类解析．

　　1．公式法

　　【例1】计算① ；　　②

　　【解】①原式

　　②原式

　　【解后评注】以上解法运用了“完全平方公式”和“平方差公式”，从而使计算较为简便．

　　2．观察特征法

　　【例2】计算：

　　【方法导引】若直接运用根式的性质去计算，须要进行两次分母有理化，计算相当麻烦，观察原式中的分子与分母，可以发现，分母中的各项都乘以 ，即得分子，于是可以简解如下：

　　【解】原式 ．

　　【例3】  把下列各式的分母有理化．

　　（1） ；（2） （ ）

　　【方法导引】①式分母中有两个因式，将它有理化要乘以两个有理化因式那样分子将有三个因式相等，计算将很繁，观察分母中的两个因式如果相加即得分子，这就启示我们可以用如下解法：

　　【解】①原式

　　　

　　【方法导引】②式可以直接有理化分母，再化简．但是，不难发现②式分子中 的系数若为“1”，那么原式的值就等于“1”了！因此，②可以解答如下：

　　【解】②原式

　　　　　　

　　　　　　

　　3．运用配方法

　　【例4】化简

　　【解】原式

　　　　

　　【解后评注】注意这时是算术根，开方后必须是非负数，显然不能等于“ ”

　　4．平方法

　　【例5】化简

　　【解】∵

　　　

　　　

　　　∴ ．

　　【解后评注】对于这类共轭根式 与 的有关问题，一般用平方法都可以进行化简

　　5．恒等变形公式法

　　【例6】化简

　　【方法导引】若直接展开，计算较繁，如利用公式 ，则使运算简化．

　　【解】原式

　　　　

　　　　

　　6．常值换元法

　　【例7】化简

　　【解】令 ，则：

　　原式

　　　　

　　　　

　　　　

　　　　

　　　　

　　7．裂项法

　　【例8】化简

　　【解】原式各项分母有理化得

　　原式

　　　　

　　【例9】化简

　　

　　【方法导引】这个分数如果直接有理化分母将十分繁锁，但我们不难发现每一个分数的分子等于分母的两个因数之和，于是则有如下简解：

　　【解】原式

　　　　

　　　　

　　　　

　　8．构造对偶式法

　　【例10】化简

　　【解】构造对偶式，于是没

　　 ，

　　则 ， ，

　　原式

　　　　

　　9．由里向外，逐层化简

　　

　　【解】∵

　　　　

　　而

　　

　　∴原式

　　【解后评注】对多重根式的化简问题，应采用由里向外，由局部到整体，逐层化简的方法处理．

　　10．由右到左，逐项化简

　　【例11】化简

　　

　　【方法导引】原式从右到左是层层递进的关系，因此从右向左进行化简．

　　【解】原式

　　　　

　　　　

　　　　

　　　　 ．

　　【解后评注】平方差公式和整体思想是解答本题的关键，由平方差公式将多重根号逐层脱去，逐项化简，其环节紧凑，一环扣一环，如果不具有熟练的技能是难以达到化简之目的的．