第三节 平行四边形及其性质
典型例题
图1 |
【例1】如图1, 的对角线 、 相交于 ,则图中全等三角形有( )
A.2对 B.3对 C.4对 D.5对
【分析】由平行四边形的对边平行、对角线互相平分,可得全等三角形有:△ 和△ ,△ 和△ ,△ 和△ 、△ 和△ .
【答案】C
图2 |
【例2】如图2, 中, 、 的平分线交于点 , 和 的延长线交于 ,
求证: .
【分析】证线段相等,可证线段所在三角形全等.可证△ ≌△ .已知 为公共边, ,又易证 .问题得证.
【证明】在 中,∵ ,
∴ ,
又∵ (角平分线定义).
∴ ,
又∵ ,
∴△ ≌△
∴ .
说明:证线段相等通常有两种方法:(1)在同一三角形中证三角形等腰;(2)不在同一三角形则证两三角形全等.
本题也可根据等腰三角形“三线合一”性质证明结论.
图3
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【例3】如图3,在 中, 于 , 于 , , , ,求△ 的面积.
【解】在 中, , 、 .
在 △ 中, , .
∴ , .
∴ .
在 △ 中, .
∴ .
故 .
【例4】已知:如图, 是等腰△ 的底边 上一点, , .求证: .
【分析】由于 , ,从而可以利用平行四边形的定义和性质,等腰三角形的判定和性质来证.
【解】因为 , ,所以四边形 是平行四边形.
所以 .
因为 ,所以 .
因为 ,所以 .
所以 .
所以 .
说明:证明一条线段等于另外两条线段的和常采用的方法是:把三条线段中较长的线段分为两段,证明这两段分别等于另两条线段.
【例5】如图,已知: 中, 、 相交于 点, 于 , 于 ,求证: .
【分析】
【解】因为四边形 是平行四边形,
所以 , .
又因为 、 交于 点,
所以 .
又因为 , ,
所以 .
于是△ ≌△ .
从而 .
说明:要学会用这种“倒着找”的方法进行分析.
此处不能写成“四边形 是 ”.
证明△ ≌△ 时,不能用条件“ ”,这里并没有指明 、 、 三点在一条直线上.
【例6】 已知:如图, ,AC、BD交于O,且
求证:
证明:过B作 交DC延长线于E,则 。
∵ , ,
∴
∵ , ∴
∴ ∴
∴
说明:本题条件中有“夹在两条平行线之间的相等且相交的线段”,由于位置交错而一时用不上,为此通过作平行线,由“夹在两条平行线间的平行线段相等”将线段AC平移到BE,得到等腰△BDE,使问题得解.
夹在两条平行线间的平行线段相等,是一个能简化证明过程的定理,因为由条件本身可得到一个平行四边形,因此当题目结论只需要证行四边形对边相等,而不需要平行四边形的其他性质时,可直接由上述定理得到线段相等.