第七节 分式方程
典型例题
例1 解方程.
解:原方程就是
去分母,得
整理后,得
解这个方程,得
.
经检验,是增根,是原方程的根.
说明 去分母前的排列,变号(如本题中的变为),去分母时分母为1的整式或常数漏乘最简公母以及去括号时符号是否改变,都是解方程中容易出错的地方,解题过程中都要认真对待.
例2 解方程
解法一:原方程可化为
设,则原方程化为
,
去分母,得
,
解这个方程,得
.
当时,,
,
∴ 此方程无实根.
当时,.
解这个方程,得
经检验,都是原方程的根.
解法二:去分母,整理,得
或 .
方程的,无实数根.
∴ .
经检验,都是原方程的根.
点拨 从两种解法看到分式方程转化为整式方程的两种途径.解法一用的是换元法,因为,设,经过换元使方程得到化简.解法二用的是去分母,其后在解的过程中也是一种换元的思想,是把看成一个整体,当成一个未知数,只是没有显现出换元,如果换元方法掌握较好,对于这样的题采用解法二是否更为简捷些.
例3 当a取何值时,方程
去分母,得
解这个方程,得
∵ 方程的解为负数,
∴ ,解得 .
,
∴ . 即 .
∴
∴ 当且时,方程的解为负数.
点拨 分式方程的解必使是各分式的分母不等于零,在求适合某种条件的字母系数的值时,要特别注意这一点.
例4 某工厂计划生产480个零件,在实际生产中每小时多做了10个,结果不仅提前1小时完成任务,而且还比原计划多生产了10个零件.求原计划每小时做多少个零件?预计用多少时间?
分析 设原计划每小时做x个零件,那么预计用的时间就是小时,实际每小时生产了个零件,共计生产了个,所以实际所用的时间是小时.根据“实际比原计划提前1小时完成”这个等量关系列方程.
解:设原计划每小时做x个零件.
根据题意,有
.
去分母,整理,得
.
解这个方程,得
.
经检验,都是原方程的根,但生产零件的个数不能为负数,所以只取.
当时,.
答:原计划每小时生产60个零件,预计用8小时完成任务.
例5 甲、乙二人分别从相距27千米的A、B两地同时出发,相向而行,3小时相遇.相遇后两人各用原来速度继续前进,甲到达B地比乙到达A地早1小时21分.求两人的速度.
分析 本题中的主要等量关系是走完全程甲比乙少用1小时21分,可用等式表示.题目的前一句话中隐含了二人速度之间的关系,27千米的路程,二人用3小时相遇,就是说二人的速度和是每小时9千米,如果设甲每小时走x千米,那么乙每小时走()千米.
解:设甲每小时走x千米,那么乙每小时走()千米.
依题意,有
.
化简得
去分母,整理,得
解这个方程,得
经检验,都是原方程的根,但速度不能为负数,所以只取.
当时,.
答:甲每小时走5千米,乙每小时走4千米.
点拨 本题也可以把题中的两句话看成两个等量关系,列方程组求解.即
设甲的速度为每小时x千米,乙的速度为每小时y千米.
根据题意,有
.
方程组用代入消元法求解.