第一节 平面直角坐标系

扩展资料

　　谈到平面直角坐标系就会提到笛卡儿.笛卡儿1596年生于法国.《几何学》是笛卡儿写的唯—一本数学书.笛卡儿一生中在数学上并没有花太多的时间，因此克莱因所著的《古今数学思想》中称笛卡儿“是第一个杰出的近代哲学家、近代生物学的奠基人、第一流的物理学家，但只偶然地是个数学家．”然而这并不影响笛卡儿由于创立了解析几何而在数学史上做出了划时代的贡献．

　　笛卡儿首先是作为哲学家来研究数学的，他致力于寻找在一切领域建立真理的方法，他说这个方法就是数学方法．数学立足于公理之上的证明是无懈可击的，而且是任何权威所不能左右的，数学提供了获得必然结果以及有效地证明其结果的方法．笛卡儿清楚地看到，数学方法超出它的对象之外，他说：“……所有那些目的在于研究顺序和度量的科学，都和数学有关．至于所求的度量是关于数的还是形的，是关于星体的还是声音的，以及是关于其他东西的，都是无关紧要的．因此应该有一门普遍的科学，去解释所有我们能够知道地顺序和度量，而不考虑它们在个别学科中的应用．事实上，通过长期使用，这门学科已经有了它自己的专名，这就是数学．它之所以在灵活性和重要性上远远超过那些依赖于它的科学，是因为它完全包括了这些科学的研究对象和许许多多别的东西．”他又说：“几何学家惯于在困难的证明中用来达到结论的成长串的简单而容易的推理，使我想到：所有人们能够知道的东西，也同样是互相联系着的．”他从关于数学方法的研究中，抽出了在任何领域中获得正确知识的一些原则：

　　（1）不要承认任何事物是真的，除非它在思想上清楚明白到毫无疑问的程度；

　　（2）要把困难分成一些小的难点；

　　（3）要由简到繁，依次进行；

　　（4）最后要列举并审查推理的步骤，要做得彻底，使毫无遗漏的可能．

　　上述这些是他从数学家的实践中提炼出来的方法要点．他希望用这些要点，去解决哲学、物理学、解剖学、天文学、数学和其他领域中的问题，虽然他的这个大胆的计划并未成功，但他确实对哲学、科学和数学做出了很大的贡献．在《几何学》中，他把代数与几何相结合，创立了几何学研究的新方法——解析几何，极大地推动了数学的发展．

　　100多年后，一个瑞士人（克拉美）才正式引入y轴.“横坐标”和“纵坐标”的名称笛卡儿也没有使用过，“纵坐标”是由莱布尼兹1694年正式使用的，而“横坐标”到18世纪才由沃尔夫等人引入.至于“坐标”一词，也是莱布尼兹1692年首先使用的.

　　笛卡儿当时的坐标系是不完善的，经过后人不断地改善，才形成了今天的直角坐标系.然而，笛卡儿迈出的最初一步是具有决定意义的.所以，人们仍把后来使用的直角坐标系称为笛氏直角坐标系.

　　节选自《解析几何方法漫谈》 王敬庚

返回页首　　

扩展资料

　　数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的.它研究的对象本来是十分具体的，但为了在比较纯粹的状况下来研究空间形式和数量关系，才不得不把客观对象的所有其它特征抛开不管，因此，数学的抽象完全舍弃了事物的质的内容，而仅仅保留了它们的量的属性，即数学抽象的目的只是数量关系和空间形式.这就决定了数学与其它自然科学的区别，也决定了数学的特殊性.

　　而数学的抽象有着不同的方式，弱抽象是数学抽象的方式之一，而函数概念的每次扩张都是弱抽象，函数概念的发展成为理解弱抽象的一个典型事例.

　　弱抽象就是逐渐减弱对象的特殊性，即舍去对象的一些特征而仅抽取某一特殊或某个属性加以概括，形成比原对象更为普遍，更为一般的对象的一种抽象方法.

　　以现实事物或现象为原型进行基本概念的抽象就是一种弱抽象，它舍弃了事物或现象的一些物理或化学特征而仅抽取量性特征.

　　函数的概念最早产生于运动的研究.如伽利略是用文字语言来表述这些函数关系的.“从静止状态开始以定常加速度下降的物体，其经过的距离与所用时间的平方成正比”；“沿着同高度但不同坡度的倾斜平板下滑的物体，其下滑的时间与平板的长度成正比”；显然，只需引进适当的符号，上述的函数关系就可以明确的用数学形式表述： ； …以这些具体的函数为原型，17世纪的一些数学家通过弱抽象获得了如下的函数概念：

　　“函数是这样一个量，它是从一些其它的量通过一系列代数运算而得到的.”

　　上述定义显然过于狭窄了，因为它事实上仅适用于代数函数的范围.因此，在其后的发展中，函数概念得到了进一步的扩展.随着数学研究的深入，人们逐渐接触到了一些超越函数，如对数函数，指数函数三角函数等，尽管这些函数已经超出了代数函数的范围，但是在一些数学家看来，两者区别仅仅在于超越函数重复代数函数的那些运算无限多次，从而人们又通过弱抽象提出了如下的函数概念：

　　“函数是指由一个变量与一些常量，通过任何方式（有限的或无限的）形成的解析表达式.”

　　这一由欧拉给出的定义尽管仍然过于狭窄，在18世纪却曾长期占统治地位.

　　19世纪初，函数概念再次得到了扩展，函数的概念开始摆脱“解析表达式”，另外狄里克雷更提出了如下的函数概念：

　　“如果对于给定区间上的每一个x值有唯一的一个y值同它对应，那么，y就是x的一个函数.”

　　最后，如果用任意的数学对象去取代具体的数量，并采用集合论的语言，则可以获得更为一般的“映射”概念：

　　如果在两个集合的元素之间存在有确定的对应关系，就称为是一个映射.

　　上述函数概念的历史演变过程，就是一系列弱抽象的过程.如下表：

　　节选自《数学思想方法与中学数学》 钱佩玲 邵光华

返回页首