第六节 二次函数y=ax2的图象

教学设计示例1

　　课题：二次函数 的图象

　　教学目标：

　　1、会用描点法画出二次函数 的图象；

　　2、根据图象观察、分析出二次函数 的性质；

　　3、进一步理解二次函数和抛物线的有关知识

　　4、渗透由特殊到一般的辩证唯物主义观点；

　　5、渗透数形结合的数学思想方法，培养观察能力和分析问题的能力；

　　6、培养学生勇于探索创创新及实事求是的科学精神.

　　教学重点：根据图象，观察、分析出二次函数的性质

　　教学难点：渗透数形结合的数学思想方法

　　教学用具：直尺、微机

　　教学方法：谈话、探究式

　　教学过程：

　　1、列表、描点画出函数 与 的图象，引入新课

　　例：画出函数 与 的图象

　　解：列两个表

x	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4
	8	4.5	2	0.5	0	0.5	2	4.5	8

x	-2	-1.5	-1	-0.5	0	0.5	1	1.5	2
	8	4.5	2	0.5	0	0.5	2	4.5	8

　　分别描点画图

　　2、根据图象发现问题，由学生探索出新知识.

　　提问：你能从图象中发现抛物线是哪些性质？这两个函数图象有何异同？

　　（1）这两个函数的图象都关于y轴对称.这一点可以从刚才的列表中可以看出， 时所对应的y值分别相等，如 等.这样的两个点关于y轴对称.由这些点构成的抛物线也关于y轴对称.从解析式中也可以得出这个结论：互为相反数的两个数的平方数相等，因此，这两个函数的图象都是关于y轴对称的.

　　（2）从图中可以看出，x可取x轴上的任意一点，而y对应的是大于、等于零的数.即抛物线有最低点（0，0）.这一点可以从解析式中得到很好的解释， 可取

　　任意实数. 图象开口向上.这也说明数与形是数学中的两条线索，它们是互相对应的，反映了数形结合的思想.

　　（3）从图中也可以看出抛物线不同于我们以前学过的正比例函数和一次函数，这两个函数的图象都是直线，而抛物线是曲线，有一个拐弯，函数的图象都在最低点拐了一个弯.这样它们的性质几发生了变化.在y轴的左侧，从左向右呈下坡趋势，即y随x的增大而减小；在y轴的右侧，从左向右，呈上坡趋势，即y随x的增大而增大.这一变化趋势也可以从列表中看出.

　　（4）这两个图象除以上相同之处外，还有不同的地方.如： 离y轴近， 离y轴远.从列表中可以看出：如 过点（2，2），而 过点（2，8）也就是说，当x=2时， 的图象所对应的点高于 所对应的点.因此会有上述的结论.

　　3、画出函数 的图象

　　 与 中的a都是正数，当a<0时， 的图象会是什么样子呢？

　　我们看例2

　　例2、画出函数 的图象

　　解：列表：

x	-3	-2	-1	0	1	2	3
y	-9	-4	-1	0	-1	-4	-9

　　描点画图：

　　4、从函数图象入手，再次总结二次函数的性质

　　(1)与刚才两个图象不同的是， 的图象开口向下.这是因为x是任意实数， ， 即 ，因此，开口会向下.图象有最高点（0，0）

　　(2)此图象仍然是关于y轴对称的

　　(3)在y轴的左侧，y随x的增大而增大；在y轴的右侧，y随x的增大而减小

　　5、得出一般的规律

　　一般地，抛物线 的对称轴是y轴，顶点是原点，当a>0时，抛物线 的开口向上，当a<0时，抛物线 的开口向下，a的绝对值越大，图象越靠近y轴.

　　6、小结：这一节课，从始至中都是结合图象观察、归纳总结出二次函数 的性质，体现了数与形的结合.函数图象是解决函数问题的有利工具，希望大家能自觉地应用.

　　7、作业：习题13.6A组1、2B组1、2

　　

二次函数的图象

第一课时

　　教学目标

　　1．使学生会用描点法画出二次函数 与 的图象；

　　2．使学生能结合图象确定抛物线 与 的对称轴与顶点坐标；

　　3．通过比较抛物线 与 同 的相互关系，培养学生观察、分析、总结的能力;

　　4. 在本节的教学中，继续向学生进行数形结合、转化的数学思想方法的渗透；

　　5. 通过本节课的教学，培养学生事物间是互相联系及互相转化的辩证唯物主义观点.

　　教学重点：画出形如 与形如 的二次函数的图象，能指出上述函数图象的开口方向，对称轴，顶点坐标.

　　教学难点：理解函数 、 与 及其图象间的相互关系

　　教学用具：微机

　　教学方法：探究式、小组合作学习

　　教学过程

　　一、复习引入

　　提问：1．什么是二次函数？

　　2．我们已研究过了什么样的二次函数？

　　3．形如 的二次函数的开口方向，对称轴，顶点坐标各是什么？

　　通过这三个问题，进一步复习巩固所学的知识点，同时引出本节课要学习的问题.

　　从这节课开始，我们就来研究二次函数 的图象.（板书课题）

　　二、新课

　　复习提问：用描点法画出函数 的图象，并根据图象指出：抛物线 的开口方向，对称轴与顶点坐标.（插入 的图片）

　　教师可边提问边打开图片，然后可以找学生来指出抛物线 的开口方向，对称轴及顶点坐标，针对学生的回答情况加以总结，评价.

　　下面，我们来看一下如何完成下面的例题？

　　例1   在同一平面直角坐标系画出函数 、 、 的图象.（插入课件）

　　（一）函数对应值表的区别.

　　列表：

	－3	－2	－1	0	1	2	3
	10	5	2	1	2	5	10
	9	4	1	0	1	4	7
	8	3	0	－1	0	3	8

　　列完表之后，让学生观察上表归纳出，对于 与 ，任意一个 的值，解析式 的函数值总比 的函数值小1，对于同一个 值， 值总是小1，抛物线上的点向下平行移动一个单位，图象也向下平移一个单位.对于 与 也这样分析.分析完表后，再让同学们看课件中画出的函数 与 的图象.

　　（二）图象的区别.

　　然后，由学生来观察课件上画出的三条抛物线，让学生思考下列问题：

　　（1）抛物线 的开口方向，对称轴与顶点坐标是什么？

　　（2）抛物线 的开口方向，对称轴与顶点坐标是什么？

　　（3）抛物线 ， 与 的开口方向，对称轴，顶点坐标有何异同？

　　（4）抛物线 ， 与 有什么关系？

　　通过这四个问题，可使学生深入理解这三条抛物线之间的联系与区别，便于学生以后分析问题．

　　答：形状相同，位置不同．（继续演示课件，来说明学生观察、推理的正确性，激发学生的兴趣）

　　关于上述回答可继续提问：（可按学生的层次不同来选择问题的深度）

　　①你所说的形状相同具体是指什么？

　　答：抛物线的开口方向和开口大小都相同．

　　②根据你所学过的知识能否回答：为何这三条抛物线的开口方向和开口大小都相同？

　　答：因为a的值相同．

　　 通过这一问题，使学生对此类问题形成规律：抛物线的形状相同就说明a的值相同，而a的值相同就可以说抛物线的形状相同．加深学生对系数a的作用的理解．

　　③这三条抛物线的位置有何不同？它们之间可有什么关系？

　　先由学生思考，讨论之后，给出答案．

　　答：若沿y轴平移，这三条抛物线可重合．（演示动画）

　　④抛物线 是由抛物线 沿y轴怎样移动了几个单位得到的？抛物线 呢？

　　答：抛物线 是由抛物线 沿y轴向上平移1个单位得到的；而抛物线 是由抛物线 沿y轴向下平移1个单位得到的．

　　⑤你认为是什么决定了会这样平移？

　　答： 中的 的值决定了会这样平移．若 ，则向上平移，若 ，则向下平移．

　　练习一　教材P118中1学生独立完成，口答．

　　下面，我们再来看一类二次函数的图象：（演示动画）

　　例2在同一平面直角坐标系内画出 与 的图象．（插入动画）

　　注意：画这两个图形时，参考前面画图列表时 的取值都是关于某一个值对称的，可先让学生猜测画这两个图时 的取值各以应什么数为中间点，然后左右能对称．通过这样的训练能帮助学生以后自主考虑问题时怎样找思路列完表之后，与例l一样处理，演示课件直到三条抛物线全画出.画完图之后的观察和分析也可仿照例1完成．

　　注意：（l）关于抛物线 与 的对称轴的写法，要加以交待，若曾在讲完13．5后阅读过教科书P．113—115，这个问题就好解决了.若没有读过，可由学生讨论对称轴上点的特征来得到对称轴的表示方法.

　　（2）这次图象的平移是沿 轴进行的，平移的单位和方向是由 中的 决定的，特别强调二次函数形式的写法是 ，而不是 .

　　练习二P118中2学生独立完成，口答.

　　三、本节小结

　　本节课学习了二次函数 与 的图象的画法，主要内容如下。

　　（出示幻灯）填写下表：（可让学生回答）

　　表一：

　　表二：

　　八、布置作业

　　教材P124中1（1）、（2）

　　九、板书设计

13．7二次函数 的图象（一） 　例1：　　　　　　　　　例2： 　小结：　　　　　　　　　小结：

　　

教学设计示例2

　　课题：二次函数 的图象

　　第一课时

　　一、素质教育目标

　　（一）知识教学点

　　1．使学生知道二次函数的意义；

　　2．使学生会用描点法画出二次函数 的图像，并结合 的图像，初步理解抛物线及其有关概念。

　　（二）能力训练点

　　1．进一步培养学生用描点法画函数图像的能力；

　　2．向学生进行数形结合的数学思想方法的教育。

　　（三）德育渗透点

　　通过对几个特殊的二次函数的讲解，向学生进行一般与特殊的辩证唯物主义教育。

　　（四）美育渗透点

　　通过本节课的教学，渗透二次函数图像的对称美，曲线的平滑美。

　　二、学法引导

　　教师采用引导发现法，观察法，讲解法

　　本节的主要内容是理解二次函数的定义，知道二次函数解析式 中字母的意思，在画 的图像时，要知道图形是抛物线，是轴对称图形、列表时，自变量x的值的选取，应以0为中心，对称地选取两对（或三对）互为相反数，最好x取整数值。

　　三、重点·难点·疑点及解决办法

　　1．教学重点：二次函数的意义及二次函数 的图像的画法。因为它们是研究二次函数的重要基础。

　　2．教学难点：正确画出二次函数 的图像。因为它的图像是一条曲线，画起来较复杂，而且学生在画图之前，尚不清楚二次函数 的图像的具体形状和变化趋势，所以不易把握。

　　3．教学疑点：（1） ；（2） 的图像的反性质。

　　4．解决办法：（1）关于二次函数的定义，关键要注意：自变量的最高次数定义，二次项系数 ；（2） 的图像和性质，不可死记硬背，要结合图像理解和掌握二次函数 的几个主要特征，如开口方向，顶点坐标（或位置），对称轴，最大值最小值等。

　　四、教学步骤

　　（一）教学过程

　　首先，我们来看两个实验问题：（出示幻灯）

　　1．圆的半径是R，它的面积为S，你能否写出S与R之间的函数关系式？

　　这个问题由学生举手回答，可找层次较低的学生完成，培养他们的参与意识和自信心。然后把答案写在黑板上留用。

　　2．已知一个矩形场地的周长是60，一边长为l，请你写出这个矩形场地的面积S与这条边长之间的函数关系式。

　　这个问题其实就是13.2中的例1，可由学生得出结论，若学生给出的是 ，再继续提问：你能否把函数关系式中的括号去掉？然后把所得的结论写在黑板上。

　　提问：比较 与 这两个函数，都是用自变量的几次式来表示的？

　　用这个问题，引出二次函数，在学生回答之后，教师加以总结，板书：

　　一般地，如果 （a、b、c是常数， ），那么，y叫做x的二次函数。

　　提问：1．上述概念中的a为什么不能是0？

　　2．对于二次函数 中的b和c可否为0？若b和c其一为0或均为0，上述函数的式子可以改写成怎样？你认为它们还是不是二次函数？

　　3．由问题1和2，你能否总结：一个函数是否是二次函数，关键看什么？

　　由这三个问题加深学生对二次函数意义的理解，也同时给出了二次函数的三个特例： ； ； ，使学生深刻理解：看一个函数是否是二次函数的关键是看二次项的系数是否为0．

　　4．二次函数的解析式，与我们所学过的什么知识相类似？

　　通过这个问题，使学生能把二次函数与一元二次方程初步搭上联系即可，为以后的教学

　　做好铺垫．

　　练习一：P108中1、2  口答，注意第1题要让学生说明不是二次函数的原因

　　提问：根据我们所学知道，一次函数的图像是条直线，那么二次函数的图像又是什么样的呢？

　　这个问题主要是为了引起学生的兴趣，不必回答，教师也不用给出答案．

　　我们研究任何问题都最好由最简单的入手，根据刚才对二次函数的介绍，你认为最简单的二次函数是什么？

　　这个问题一方面可以使学生自然过渡到要先研究 ．另一方面也使同学认识到研

　　究问题要由简到繁的基本方法．

　　所以第三个问题是，由我们学习的画函数的图像方法与步骤，我们应怎样画二次函数 的图像呢？

　　可由学生先回答画函数图像的三个步骤：（1）列表；（2）描点；（3）连线．然后分步骤来研究这个图像的方法．

　　（1）列表：①自变量x的取值范围是什么？

　　②要画这个图，你认为x取整数还是取其他数较好？

　　③看 ，它是一个数的平方形式，它的结论与x的值有什么关系？

　　学生可能有多种答法，引导学生回答：当x取互为相反数时， 的值相同．

　　④若选7个点画图，你准备怎样选？

　　通过这4个问题可以使学生很顺利地想到为什么要先取书上给出的这7个点，而且也使

　　学生初步学会画二次函数图像时选点的技巧．

　　（2）描点：①在画坐标系时x轴的正、负半铀和y轴的正、负半轴是否都要画一样的长？

　　②怎样画就可以了呢？

　　答：x轴的正、负半轴画的一样长，y的正半轴画的较长，负半轴画的较短就可以．

　　通过这两个问题可培养学生的作图技巧．

　　（2）连线：①观察这7个点的位置，它们是否在一条直线上？

　　②我们应怎样连接这7个点？

　　让学生先连一次试试，然后教师演示。关于原点附近的变化趋势，最好能用动画演示，增强学生的直观认识，或看书也可以．

　　注意：我们所画的只是近似图像．

　　接下来，让学生观察这个函数图像提问：

　　1．函数 的图像有什么特点？

　　答：是轴对称图形．

　　2．你是怎样判断函数 的图像有上述特征的？

　　这个问题，按不同的层次，有三种得出方法：（1）观察图；（2）看列表；（3）直接根据解析式，看学生层次定讲解的深度．

　　学生回答完上面的问题之后就可指出：函数 的图像是一条关于y轴对称的曲线，这条曲线叫做抛物线。实际上，二次函数的图像都是抛物线（板书）

　　在此处，可大致解释一下抛物线是由物理中的问题而来的，不要深讲。

　　再结合图像指出：抛物线 是开口向上的，y轴是它的对称轴，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，即（0，0）点。

　　关于抛物线的顶点，可按不同层次的学生进行不同层次的解释：

　　从图像上直观得到：抛物线 的顶点是图像的最低点：从解析式上看，当 时， 取得最小值0，（0，0）就是抛物线 的顶点坐标。

　　（二）总结、扩展

　　教师提问，学生思考回答：

　　1．你能否说清二次函数的意义？

　　注意总结：（1）函数解析式关于自变量是整式；（2）自变量的最高次数是2。

　　2．二次函数 的图像是什么形状的？它的开口方向，对称轴，顶点坐标各是什么？

　　五、布置作业

　　教材P114  1、2、3

　　六、板书设计